Primitieve wiskunde
A) Rekenen en meten bij Indianen, Kelten,
Chinezen, Indiërs en Egyptenaren
Tellen en rekenen
Voordat de mensen het schrift kenden, kerfden zij al streepjes op rotswanden, bamboestokken of hout om getallen, die verband hielden met afspraken of gebeurtenissen vast te leggen. Bekend is ook dat de ambtenaren van de Inca's in Peru hun administratieve informatie vastlegden in quipu's, een samenstel van geknoopte gekleurde koorden. Deze bevatten o.a. de resultaten van volkstellingen, voorraadadministratie en belastingboekhouding.
Voor de tijdmeting kenden zij een vijf- en tientallig getallenstelsel.
Bij primitieve volken komt het tientallig stelsel het meest voor, daarna het vijftallig stelsel of een mengvorm van vijf- en tientallig en tenslotte het twintigtallig stelsel of een mengvorm van vijf- en twintigtallig. Dit is althans zo gebleken uit een onderzoek bij 307 Amerikaanse indianenstammen.
De voorgangers van de Kelten van Europa en de Maya's van Mexico gebruikten een twintigtallig stelsel. (De Fransen noemen 80 nog steeds 'quatre-vingts' en het Deens kent veel getallennamen, die naar het twintigtallig stelsel verwijzen.)
Deze overeenkomst is natuurlijk het gevolg van het feit, dat een hand vijf vingers heeft, de mens tien vingers heeft en twintig vingers en tenen. Dit betekent niét, zoals wel beweerd wordt, dat de mens heeft leren tellen dank zij zijn vingers. Wel werd het rekenen vergemakkelijkt door het gebruik van een rekeneenheid als 5 of 10. Daarbij kwam men niet verder als 10 + 4, 15 ‑ 1 of
2 x 10. Bij sommige volken bestond het idee 'de helft van', maar dat bereikte niet het niveau van 'delen door twee'.
Meten
Om lengtes te meten gebruikte men lichaamsdelen. We kennen nog maten als el (lengte van vingertop tot elleboog), duim (duimbreedte: 2,54 cm), vadem (gestrekte armen: 1,5 m) en voet (30 cm, 12 duim).
Alle beschavingen, die het schrift kenden, hebben ook enige kennis van wiskunde ontwikkeld. Dat was met name het geval, als zij landbouw en handel bedreven. Landbouw vereist kennis van seizoenen, dus van de beweging van zon, maan en sterren, kortom van astronomie. Daarvoor moet men hoeken en tijd kunnen meten en meetkundige figuren begrijpen. Handel vereist politieke stabiliteit, dus staatsinrichting en belastingheffing. Deze brengen weer kennis van rekentechnieken en landmeetkunde met zich mee.
Maar dank zij het schrift is ook een geregeld intellectueel verkeer mogelijk en kan wiskundekennis uit pure belangstelling groeien.
Egypte
De Egyptische beschaving ontstond omstreeks 4500 v. Chr. De Egyptenaren gaven de getallen 1 t/m 9 eenvoudig aan door herhaling van de één, de getallen 20 t/m 90 door herhaling van het teken voor 'tien', enz. tot aan 1 miljoen. Zo hadden zij maar zeven cijfertekens nodig. Vermenigvuldigen werd teruggebracht tot herhaald optellen en verdubbelen. Zo werd 29 x 13 berekend als
29 x (1 + 4 + 8) = 29 + 116 + 232. Voor het
uitvoeren van delingen werd met
breukeenheden gewerkt: 1/2, 1/3, 1/4
........ enz. en tevens met 2/3. Breuken met 2 in de teller werden
herleid tot een optelling van breukeenheden, bv. 
.
Hiervoor bestonden tabellen. De papyrus Rhind (gekocht door een Schots antiquair van die naam) uit 1650 v. Chr. bevat alle herleidingen van 2/5, 2/7, 2/9 ...... enz. t/m 2/101.
Met behulp daarvan kon bv. 7 : 29 berekend worden als
1/6 + 1/18 + 1/87 + 1/174 + 1/522 .
Afleiding van de ontbinding van 7/29:
De tabel geeft bijv. 2/29 = 1/18 + 1/87 + 1/522.
Dan is 6/29 = 3.1/18 + 3.1/87 + 3.1/522 = 1/6 + 1/29 + 1/174
en 7/29 = 1/6 + 2/29 + 1/174 = 1/6 + (1/18 + 1/87 + 1/522) + 1/174
= 1/6 + 1/18 + 1/87 + 1/174 + 1/522.
Was het deeltal groter dan de deler, dan ging men als volgt te werk: Deel 4058 door 29. Verdubbel 29 zo vaak als mogelijk zonder het deeltal te overschrijden: 29, 58, 116, 232, 464, 928, 1856, 3712. Dat gaat zeven keer, 27 = 128, 4058 ‑ 3712 = 346. Doe net zo met 346. Dat gaat drie keer, 23 = 8, 346 – 232 = 112. Doe net zo met 112. Dat gaat één keer met rest 54. Van 54 kan nog 1 maal 29 af. De laatste rest is 25. De uitkomst is 128 + 8 + 2 + 1 met rest 25 = 13925/29. De breuk 25/29 moet dan nog ontbonden worden.
Hoe onhandig het werken met deze breukeenheden ons ook lijkt, toch werden ze in latere tijd ook buiten Egypte gebruikt. Zo maakte de eerste grote West-Europese wiskundige, Leonardo van Pisa (begin dertiende eeuw), in het 'Boek over het zandbord' nog gebruik van Egyptische breuken en bevat het een omrekeningstabel van gewone breuken naar breukeenheden.
De Egyptenaren waren al in staat lineaire vergelijkingen op te lossen, maar hun meetkundige kennis was nog beperkt. Het verhaal, dat hun bouwmeesters een touw van 12 meter lengte met knopen gebruikten om een rechthoekige 3-4-5 driehoek mee te vormen en zo een rechte hoek te maken is ongegrond. Toch is wel een berekening ontdekt, in de 'Moskou-papyrus' (door een Rus gekocht in Egypte), waarbij kennis van de stelling van Pythagoras een rol kan hebben gespeeld. Daarin wordt de inhoud van een afgeknotte vierkante piramide berekend volgens de formule 1/3h(a2+ab+b2) (h = de hoogte, a en b zijn de lengtes van een zijde van het grond- en bovenvierkant respectievelijk). Ook is het opvallend, dat uit een klassiek Grieks reisverhaal afgeleid kan worden, dat de grote piramides van Egypte allemaal een zodanige helling hebben dat de oppervlakte van een zijvlak gelijk is aan het kwadraat van de hoogte. Inderdaad blijkt dat te kloppen voor vier grote piramides van Medumi en Gizeh, alle gebouwd tussen 5000 en 4500 v. Chr. Als dit geen toeval is, moeten de architecten bekend zijn geweest met de stelling van Pythagoras en de gulden-snedeverhouding hebben toegepast op de schuine hoogte en de halve basis.
Voor de verhouding van omtrek en middellijn van een cirkel gebruikten zij (16/9)2 = 3,16 .
China
De Chinese beschaving neemt een aanvang omstreeks 3000 v. Chr.
Van groot belang is het boek 'Chiu-chang suan-shu' (Negen hoofdstukken over wiskunst) uit ongeveer 200 v. Chr. Het bevat 246 problemen over allerlei onderwerpen, van landmeetkunde tot belastingen. Hoofdstuk 8 bevat een methode voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Ook de betekenis van negatieve getallen wordt besproken.
Niet alleen regels worden gegeven, maar soms ook formele bewijzen.
Schrijver is vermoedelijk Chang Tsang, die zich ook militaire roem verwierf in het begin van de Han-dynastie en 24 jaar lang Eerste Minister was.
|
4 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
7 |
|
8 |
1 |
6 |
Van andere boeken zijn vooral de magische vierkanten bekend. Uit de I‑ching (waarschijnlijk vóór 100 v. Chr.) is dat hiernaast afkomstig:
Alle drie rijen en kolommen en de twee diagonalen hebben 15 als som.
Het getallenstelsel was decimaal, maar voor de kalender werd ook 60 als eenheid gebruikt.
India
De brahmaanse Indiërs gebruikten lang voor onze jaartelling een 27-cijferig getallenstelsel, waarbij voor elk van de eenheden 1 t/m 9, de tientallen 10 t/m 90, de honderdtallen en de duizendtallen aparte tekens bestonden.
In de 'Sulvasoetras', liturgieboeken van het boeddhisme, staat een aantal voorschriften voor het construeren en berekenen van vierkanten, rechthoeken en cirkels. Daarbij komt ook kennis van de stelling van Pythagoras aan de orde. Ö2 wordt benaderd door een uitdrukking met waarde 1,4142156 en π door 3,0882384. Sommige van deze boeken dateren van vóór 500 v. Chr. In latere boeken vinden we niets van deze resultaten terug. Kennelijk bestaat er geen intellectueel verkeer tussen de beschavingscentra. Binnen het jainisme, een aan het boeddhisme verwante religie, gebruikte men de waarde Ö10 voor π.
Er zijn geen oorspronkelijke teksten van vóór Chr. uit India en China bewaard gebleven, zodat onze kennis van de oudste Indische en Chinese meet- en rekenkunde beperkt blijft. Pas in de tweede eeuw na Chr. gingen de Chinezen papier gebruiken. Voor die tijd werd geschreven op boombast en bamboe.
Er zijn twee volken uit de Oudheid, die blijvend hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van de wiskunde, d.w.z. de meetkunde en de rekenkunde. Dat zijn de Babyloniërs en de Grieken. Van de Babyloniërs is ons veel bewaard gebleven door de in hun oude paleizen bewaard gebleven kleitabletten, terwijl de Griekse teksten via Arabische bronnen tot ons zijn gekomen.
B)
De ontwikkeling van ons cijfersysteem
Babylonië
De Babyloniërs gebruikten omstreeks 2100 v. Chr. hetzelfde teken, ongeveer Ú, voor de getallen 1 (=600), 60, 3600 enz. maar even goed voor 1/60 (=60‑1), 1/3600 enz. Bovendien kon uit de plaats van de Ú afgeleid worden of een hogere of lagere macht van 60 bedoeld werd. Ú Ú betekende 60 + 1 = 61.
(Wij doen dat ook. De eerste 1 in 11 betekent 101, de tweede 1 betekent 100.)
De Babyloniërs kenden tot de derde eeuw voor Christus geen nul. Daardoor kon Ú Ú ook 3600 + 60 = 3660 betekenen.
De getallen 2 t/m 59 werden als volgt geschreven:
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
… |
34 |
||
|
ÚÚ |
ÚÚÚ |
ÚÚ ÚÚ |
ÚÚÚ ÚÚ |
ÚÚÚ ÚÚÚ |
ÚÚÚ ÚÚÚ Ú |
ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚ |
ÚÚÚ ÚÚÚ ÚÚÚ |
< |
< Ú |
|
|
Om een Arabisch cijfer boven de zestig 'Babylonisch' te schrijven moeten wij dit eerst omrekenen tot som van machten van 60, bv.
10 000 = 2.3600 + 46.60 + 40
= 2.602 + 4.10.601 + 6.601 + 4.10.600
= ÚÚ + <<<< + ÚÚÚÚÚÚ + <<<< = ÚÚ <<<< ÚÚÚÚÚÚ <<<<
Omdat de nul ontbrak, kon dit echter ook betekenen
2.60 + 46 + 40.1/60 = 1662/3.
Welk getal bedoeld werd moest je maar uit het verband opmaken.
Als er een macht van 60 werd overgeslagen, dan gaf men dit meestal aan door enige tussenruimte te laten:
602 + 20.601 + 3.600 = 4801 werd geschreven als Ú << ÚÚÚ.
602 + 20.601 + 3.601 = 4980 werd geschreven als Ú << ÚÚÚ.
Uit het gebruik van het teken '<' in dit stelsel blijkt, dat het zestigtallig stelsel ontstaan is op basis van een oud tientallig stelsel. Misschien was men wel op een zestigtallig stelsel overgegaan omdat men bij de uitbreiding van het Babylonische rijk verschillende meetsystemen met elkaar in overeenstemming wilde brengen.
Wij gebruiken nog steeds het Babylonisch getallenstelsel, als we een hoek uitdrukken in graden, deze in minuten en die weer in seconden. Zo is ook een dag verdeeld in 24 uren, deze in 60 minuten en deze weer in 60 seconden.
Tot aan de Renaissance werden in Europa breuken vaak op Babylonische wijze weergegeven, omdat het Romeinse of Griekse cijfersysteem daar veel minder geschikt voor was.
Hellenisme
Het lijkt vreemd, maar om te kunnen rekenen hoef je geen cijfers te kennen. De oude Grieken schreven hun getallen in woordvorm of gebruikten het Attische systeem, dat lijkt op het primitieve Egyptische cijferschrift.
In 334 v. Chr. begon Alexander de Grote uit Macedonië met de verovering van Perzië. Toen hij 11 jaar later in Babylon stierf, viel het hele Nabije Oosten onder heerschappij van de Grieken. Het rijk viel uiteen in het Ptolemeïsche rijk (Egypte met hoofdstad Alexandrië), het Seleucidische rijk (Mesopotamië en Syrië met hoofdstad Bagdad) en het Macedonische rijk. De officiële taal in de drie rijken was Grieks. De nieuw gestichte stad Alexandrië werd een centrum voor wetenschap en cultuur. Babylon bleef zijn functie behouden als cultureel en administratief centrum. In de opleidingscentra ontmoetten Perzen, Grieken, joden en Indiërs elkaar. Het Babylonische cijfersysteem werd steeds vaker gebruikt voor astronomische en andere berekeningen.
In Alexandrië ging men vanaf ongeveer 250 v. Chr. in wetenschappelijke kringen getallen noteren door gebruik te maken van de letters van het Griekse alfabet. Het systeem was hetzelfde als dat van de brahmanen in India: tientallig en 27-cijferig. Zo was α=1, ß=2, τ=3, δ=4, ε=5, ... μ=40, ... π=80, ... σ=200, ...
Het lijkt ons moeilijk wennen aan vermenigvuldigingen als
ε x μ = σ, maar zelfs de Griekse kooplieden namen het over en het systeem bleef in het Oost-Romeinse rijk in gebruik tot zijn ondergang in 1453.
Dit is de reden, dat wij nog vaak een Griekse letter gebruiken om bv. de grootte van een hoek aan te duiden.
India
In India ontstond in het begin van onze jaartelling een systeem, waarbij getallen boven de tien aangeduid werden met woorden volgens een positiesysteem. Dat betekent, dat voor bv. het aantal honderden hetzelfde woord werd gebruikt als voor het aantal tientallen en het aantal eenheden. (Dat is niet zo vanzelfsprekend, want in het Nederlands zeggen we ook 'dertig' en niet 'drie tien'. Dit vind je ook in andere talen.)
Een tweede bijzonderheid is, dat men het woord 'soenya' tegenkomt, dat gebruikt werd voor 'nul'. Deze uitvinding was een logisch gevolg van de invoering van het positiesysteem, want we hebben bij de Babyloniërs al gezien, dat door het ontbreken van de nul een bepaalde cijfercombinatie verschillende getallen kon betekenen.
(In Babylonië werd onder de Seleuciden ook een teken voor 'nul' ingevoerd en de Maya's van Mexico kenden eveneens een symbool 'nul'.)
Een Indisch opschrift uit het jaar 595 na Chr. gebruikt ook cijfers om getallen te schrijven volgens een positiesysteem. Daardoor kon het 27-cijferig systeem van de brahmanen teruggebracht worden tot een 9-cijferig systeem. Samen met de nul had men dus een tiencijferig systeem.
In het geschrift Bakshālī uit omstreeks de zevende eeuw na Chr. komt voor het eerst een nul voor in de vorm van een punt.
Het Perzische teken '0' betekent 'leegte' en is een hiëroglyph (beeldschrift) voor een lege olielamp. Dit teken kwam tussen 300 en 600 na Chr. in gebruik. Waarschijnlijk drong het gebruik van het Indische systeem vóór de komst van de islam via Perzië door tot Babylonië, want in een boek uit 662 vermeldt een Syrische bisschop het bestaan van dit Indische cijfersysteem. In 773 brachten Indiase geleerden een bezoek aan kalief Al-Mansīr en lieten hem kennis maken met hun rekenmethoden. Het duurde echter zo'n 200 jaar, voordat het algemeen gebruikt werd, want 1. het Indische systeem bereikte Mesopotamië via handelaren, die de cijfers met een stift of met de vingers in het zand schreven van een zandbord en de hogere kringen keken neer op dat gebruik. 2. de Indische cijfers werden van links naar rechts geschreven, in tegenstelling tot het Arabische schrift. 3. de Arabische wetten maakten gebruik van de oudere semitisch-Arabische cijfers. De astronomen bleven trouw aan Babylonische cijfers, terwijl in het Arabische rijk ook het Griekse systeem met 27 cijfers in gebruik bleef.
Ook de gewoonte om de noemer van een breuk onder de teller te schrijven, is trouwens afkomstig van de Indiërs.
Tenslotte werden de Indische cijfers in de dertiende eeuw door een vertaling in het Latijn van Al-Chwârizmî's boek 'Over optellen en aftrekken volgens de Indiërs' bekend in Europa en vervingen ze daar geleidelijk de Griekse cijfers. In Nederland waren in de zestiende eeuw zo'n dertig boekjes met opgaven in omloop bedoeld om het publiek vertrouwd te maken met rekenen in (Indo-)Arabische cijfers.
C) De algebraïsche vaardigheden van de
Babyloniërs
Breuken
Het Babylonische positiesysteem voor getallen heeft er toe bijgedragen, dat zij ingewikkelde berekeningen, ook met grote getallen en breuken, konden maken. Laten we - om het eenvoudig te houden - de Babylonische getallen schrijven als graden (°), minuten (') en seconden (''). Door de grote deelbaarheid van het grondtal zestig kun je de breuken 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/10, 1/12, 1/15, 1/20, 1/30 en 1/60 voorstellen door 30', 20', 15', 12', 10', 6', 5', 4', 3', 2' en 1'.
Deze schrijfwijze is haast net zo bruikbaar als ons decimale systeem. 1/7, 1/11 enz. zijn niet exact weer te geven, maar dat zijn 1/3, 1/6, 1/7 enz. in ons systeem ook niet.
Zo gebruikten de Babyloniërs voor π de benadering 3°7'30'' = 31/8.
Een aantal van de kleitabletten bevat tafels van omgekeerden. Deze waren van nut voor het uitvoeren van delingen. Delen door 5° geeft dezelfde uitkomst als vermenigvuligen met 12' (wij zouden met 2 vermenigvuldigen en door 10 delen).
Ook zij hier opgemerkt, dat negatieve getallen noch bij de Babyloniërs noch bij de Grieken gebruikt worden. In India is het begrip 'negatief getal' al vroeg bekend (zie 7.B1)). Pas in de zestiende eeuw komen negatieve getallen voor het eerst voor in Europa: Italië.
Tegen 1900 v. Chr. hadden de Babyloniërs heel wat algebraïsche kennis verzameld. Daarvan volgen hieronder enkele voorbeelden.
Tweedegraadsvergelijkingen
Vind de zijde van een vierkant, als de oppervlakte min de zijde gelijk is aan 14°°30°. (De bijbehorende vergelijking is dus
x2 ‑ x = 870.)
De oplossing wordt gegeven door de volgende instructies:
'Neem de helft van 1°, dat is 30' (½·b) en
vermenigvuldig 30' met 30', dat is 0°15' (¼∙b2). Tel dit op bij 14°°30° en
je vindt 14°°30°15'
(¼∙b2‑c). Dit is het vierkant van 29°30' (
). Tel nu 30' op bij 29°30' en de uitkomst is 30° (‑½·b+), de zijde van het vierkant.'
Een bewijs wordt niet gegeven.
Vind twee getallen, waarvan de som 10 en het produkt 21 is. (De bijbehorende vergelijking is x2 + 21 = 10x.)
Dit oeroude probleem, dat men ook bij de Grieken terugvindt, wordt als volgt opgelost:
Uit vergelijking van oppervlakken volgt, dat 
Vul de som en het produkt in, dan krijg je: 
Dus ½(a‑b) = 2 . Tel hier ½(a+b) = 5 bij op en je krijgt a = 7,
b = 3.
Ook het derde type tweedegraadsvergelijking (x2 + px = q met p,q > 0) kunnen de Babyloniërs oplossen. Op een kleitablet komt het equivalent van de vergelijking 11x2 + 7x = 6°15' voor. Deze bevat bovendien elf vierkanten ! Dit probleem wordt opgelost door algehele vermenigvuldiging met 11 en substitutie van y = 11x. Dit geeft y2 + 7y = 68°45'.
Numerieke benaderingen
Sinustabel
Het kleitablet 'Plimpton 322' geeft een tabel van 
en sinα als
functie van α voor alle gehele graden van 31° t/m 45°.
Niet sinα zelf staat vermeld, maar een rechthoekszijde x en de schuine
zijde z zó dat x/z = sinα. De waarden van x en z
zijn kennelijk gevonden door gebruik van primitieve Pythagoreïsche getaldrietallen. Zulke
drietallen worden gevonden door in
x = p2 ‑ q2, y = 2pq,
z = p2 + q2
achtereenvolgens alle positieve gehele getallenparen (p,q) met p > q
en relatief priem, in te vullen. Immers (p2 ‑ q2)2
+ (2pq)2 = (p2 + q2)2. Dit geeft
alle mogelijke niet gelijkvormige rechthoekige driehoeken, waarvan de zijden zo
klein mogelijke gehele getallen zijn.
Derdegraadsvergelijkingen
Er bestonden ook tafels van x3 + x2. Deze dienden om vergelijkingen van de derde graad (zonder lineaire term) op te lossen. Bijv. de oplossing van x3 + x2 = 4°°12° (= 252) kon afgelezen worden als 6°.
Alle andere derdegraadsvergelijkingen zonder lineaire term
kunnen opgelost worden door vermenigvuldiging met een geschikt gekozen getal.
ax3 + bx2 = c gaat
over in 
door vermenigvuldiging
met a2/b3. De waarde van y = ax/b kan afgelezen worden
uit de tafel en x = by/a berekend.
Vierkant met gegeven
oppervlakte; Ö2
Om een vierkant met een gegeven oppervlakte, bv. 18 te construeren, moeten lengte en breedte gelijk genomen worden aan Ö18. Maar hoe lang is Ö18 ? Het is mogelijk uit te gaan van een schatting, zeg 4. 42 = 16 is te klein. Als je aan de oppervlakte van 18 wilt vasthouden, moet je een rechthoek tekenen met breedte 4 en lengte 18/4 = 4½. Het is duidelijk, dat om hiervan een vierkant te maken er van de breedte wat af moet en bij de lengte wat bij. Een voor de hand liggende benadering is 4¼. (4¼)2 = 181/16 is te groot. Een rechthoek van 4¼ bij 44/17 zou wel voldoen. Probeer dan een vierkant met
zijden van 
enz.
Om Ö2 te benaderen gaan we een vierkant met oppervlakte 2
maken. Als de eerste schatting 1½ is, krijgen we als volgende schatting 
= 1,4142157.
Het laatste getal scheelt maar 2.10‑6 met Ö2. De Babyloniërs bereikten dezelfde nauwkeurigheid. Waarschijnlijk hebben zij een iteratieve methode als deze gekend. (Passen we de rekenregel maar één keer toe, dan geeft zij de benadering ÖN = ½(a+N/a) ofwel
Ö(a2 + r) » a + r/2a met N = a2 + r.)
Ook op het gebied van de meetkunde hebben de Babyloniërs goede rekenresultaten bereikt. Voor de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek met zijde a gaven ze 1°40'.a2, voor die van een regelmatige zeshoek met zijde a 2°37'30''.a2 en voor een regelmatige zevenhoek 3°41'.a2.
Griekenland in de klassieke periode tot de val van Athene
A) Wiskunde en wijsheid
Tijd om te vragen naar het waarom
De Grieken waren een zeevarend volk, dat zich omstreeks 600 v. Chr. aan alle kusten van de Middellandse en de Zwarte Zee gevestigd had: Sicilië, Zuid-Italië, de eilanden van de Aegeïsche Zee, Klein-Azië (wat nu Turkije is), de Krim enz. Daarmee begint de klassieke periode van de Griekse wiskunde, die duurt tot ongeveer 300 v. Chr. Deze wordt gevolgd door de Hellenistische periode van 300 voor tot ongeveer 600 na Chr.
Aan het begin van de klassieke periode vonden twee grote vernieuwingen plaats: het lastige Oosterse schrift maakte plaats voor het Griekse alfabet en men ging gebruik maken van gemunt geld. Milete aan de westkust van Klein-Azië werd een belangrijke stadstaat. De Griekse handelaren waren vrije, politiek bewuste mensen. Zij ontdekten de kusten van de Middellandse Zee en hun ondernemingen brachten hun rijkdom en slaven, waardoor zij over meer vrije tijd konden gaan beschikken.
Daar woonde ook de koopman Thales (640-546 v. Chr.). Hij is de oudst bekende Griekse wiskundige en stelde zich de vraag, waarom een gelijkbenige driehoek eigenlijk twee gelijke hoeken had. Dát het zo was, was sinds lang bekend. Op deze regel waren nooit uitzonderingen gevonden. Als je hard moet werken voor je levensonderhoud, kom je niet op het idee, dat daar een reden voor moet zijn. De waarom-vraag was nog nooit gesteld. In een democratische welvarende samenleving gaan mensen met elkaar over van alles in discussie. Oude waarheden kunnen vervangen worden door nieuwe. Het werd van belang om te zoeken naar een bewijs van het bestaande.
Daarvoor moest men van inductief redeneren overgaan op deductief redeneren.
Thales wordt als stichter van de Ionische school in de wiskunde beschouwd. Eigenlijk was hij filosoof, want hij hield zich o.a. ook bezig met de vraag naar de substantie, waar hemel en aarde uit gemaakt zijn. Volgens hem was dat water. Uit het water ontstond aarde en lucht en uit de lucht ontstond het vuur. Tot zijn school behoorden de filosofen Anaximander, Anaximenes en Anaxagoras uit de zesde en vijfde eeuw v. Chr.
Pythagoreeërs
Een van de bekendste Griekse wiskundigen is Pythagoras. Deze werd geboren omstreeks 585 v.Chr. op het eiland Samos. Waarschijnlijk leerde hij wiskunde van Thales. Later emigreerde hij naar Crotona in Zuid-Italië en stichtte daar, ongeveer 40 jaar oud, een school, waar hij zijn levensleer en kennis verbreidde. De leerlingen van deze school worden Pythagoreeërs genoemd.
Pythagoras was waarschijnlijk een aristocratisch politicus met een mystieke inslag. Terwijl de wiskundigen van de Ionische school en na hem de sofisten nadruk legden op het veranderlijke in de wereld, zagen de Pythagoreeërs de wereld als onveranderlijk. Haar eeuwige wetten konden het best ontsluierd worden door studie van meetkunde, rekenkunde, sterrenkunde en muziek.
De getalkunst, die men leerde betrof niet alleen rekenen, meetkunde en muzikale harmonieleer, maar ook de wetten, die - zo dacht men - het heelal, de bewegingen van de planeten en zelfs het menselijk leven, regeerden.
De sterrenkunde was een belangrijke wetenschap; zonder stadslicht en met weinig bewolking was de hemel het dak van de mens uit de oudheid. Sterrenkunde en astrologie vormden één wetenschap. Net zoals getallen en leven bij elkaar hoorden, stond volgens de astrologen je levenslot in de sterren beschreven.
Oorspronkelijk was de school een leefgemeenschap van een aantal families. Deze ontwikkelde zich tot een Orde volgens leefregels onder leiding van Pythagoras en zijn vrouw Theano. Leraren en leraressen verbreidden haar principes in Griekenland en Egypte. Theano schreef verhandelingen over wiskunde, natuurkunde, geneeskunst en kinderpsychologie.
De richtlijnen van de 'Academie' van Plato, twee honderd jaar later, zijn deels terug te voeren op de Pythagoreïsche leer. In zijn boek over de ideale republiek schrijft Plato de studie van meetkunde, rekenkunde, astronomie en muziek voor aan de toekomstige leiders daarvan.
Onder invloed van Pythagoreeërs en Ioniërs kreeg de Griekse wiskunde een sterk abstract karakter:
1. De onveranderlijke wetten vormden een geestelijke werkelijkheid boven de vergankelijke wereld.
2. Bewijzen moesten aan strenge vormeisen voldoen.
Door Pythagoras kreeg de 'stelling van Pythagoras', die waarschijnlijk al veel vroeger ontdekt was, grote bekendheid. Ook de Babyloniërs pasten de stelling in 1950 v. Chr. al toe, maar de Pythagoreeërs leverden het bewijs. De leermeester zou honderd ossen aan de goden geofferd hebben uit dank voor zijn ontdekking (zie 4.A3)).
Getalklassen
De Pythagoreeërs deelden de getallen in in klassen: even, oneven, even maal even, oneven maal oneven, priem, samengesteld, volmaakt, bevriend, driehoekig, vierkant, vijfhoekig enz. Deze benamingen worden nog steeds in de 'getaltheorie' gebruikt. Oneven getallen hadden volgens hen een mannelijke betekenis en even getallen waren vrouwelijk, 5 was het getal van het huwelijk, enz.
Aristoteles (384-322) zegt over hen: 'Zij veronderstelden, dat getallen ten grondslag lagen aan alle dingen en dat alles in het heelal toonladder en getal was.'
Zo heel erg gek is dat niet. Tenslotte zijn er ook nu nog mensen, numerologen genoemd, die aan getallen, bijv. iemands geboortedatum, een betekenis toekennen in verband met diens karakter of levensloop. Maar ook al geloven de meesten van ons daarin niet, iedereen kan met hen de verwondering delen over eenvoudige wiskundige wetmatigheden, zoals de volgende:
Vierkantsgetallen
Zet een kruisje in een hokje. Zet drie kruisjes in de hokjes ernaast: boven, boven-rechts en rechts. Je hebt nu een vierkant met oppervlakte 4.
Zet vijf kruisjes in de hokjes ernaast aan de boven‑ en rechterkant. Je hebt nu een vierkant met oppervlakte 9.
Met zeven hokjes erbij krijg je een oppervlakte van 16, enz.
Dus de som van een aantal opvolgende 'mannelijke' getallen, te beginnen met 1, geeft altijd een kwadraat.
De bijbehorende regel luidt: 1 + 3 + 5 + ... + (2n ‑ 1) = n2
Het was gebruikelijk bij het rekenen met (gehele) getallen deze voor te stellen door aantallen hokjes, dus door een oppervlakte (oorspronkelijk gebruikte men kiezelstenen, die men in een patroon legde).
Driehoeksgetallen
De regel voor het berekenen van de
driehoeksgetallen vindt u als volgt.
Het vijfde, zesde enz. driehoeksgetal is de som van de getallen 1 t/m 5, 1 t/m 6 enz. Door de getallen 1 t/m 5 aan te kruisen zoals hiernaast ontstaat een soort driehoek. Draai deze een halve slag en schuif hem tegen de eerste aan. Dan krijg je een rechthoek, waarvan de hoogte één hokje langer is dan de breedte. Is de breedte n, dan is de hoogte n + 1 en de oppervlakte n(n + 1). Het aantal kruisjes is nu ½ n(n+1).
De bijbehorende regel luidt:
1 + 2 + 3 + .....+ n = ½ n(n + 1)
Vijfhoeksgetallen
Elke 'haak' bevat drie punten meer dan de 'haak' erboven. Zo ontstaan de getallen 1, (1+4=) 5, (5+7=) 12, (12+10=) 22, (22+13=) 35
enz.
Het n-de toegevoegde getal heeft de waarde 3n‑2. Het
n-de vijfhoeksgetal is dus 
Zoals uit deze voorbeelden blijkt, was het gebruikelijk bij het rekenen met (gehele) getallen deze voor te stellen door aantallen hokjes, dus door een oppervlakte (oorspronkelijk gebruikte men kiezelstenen, die men in een patroon legde).
'Bevriende' getallen zijn getallen, waarvan de een gelijk is aan de som van de echte delers van de ander, zoals 220 en 284. 'Volmaakte' getallen zijn getallen, die gelijk zijn aan de som van hun echte delers, zoals 6 (1, 2 en 3), 28 (1, 2, 4, 7 en 14), 120 enz.
Muziekleer
Breuken waren ook bekend. Deze kwamen de Grieken in de hen omringende wereld onder andere tegen als verhoudingen van toonhoogtes en van lengtes van lijnstukken.
Als je twee snaren aanstrijkt, waarvan de lengtes zich verhouden als kleine gehele getallen, produceer je een harmonisch (Grieks voor 'welluidend, in de juiste verhouding') akkoord. Bij een verhouding van 2 : 1 is de toonsafstand een octaaf, bij 3 : 2 een kwint, bij 4 : 3 een kwart, bij 5 : 4 een grote terts.
De Pythagoreeërs definiëerden de kwart als het belangrijkste tooninterval, waarop hun muziekinstrumenten werden afgestemd. Zij berekenden alle intervallen voor de diatonische toonladder. Archytas berekende de intervallen voor de chromatische en enharmonische toonladder.
Omdat volgens de Pythagoreeërs muziek voor de oren was wat de sterrenhemel was voor de ogen, waren muziekleer en sterrenkunde verwante wetenschappen. Eratosthenes en Ptolemaeus waren behalve aardrijkskundigen en sterrenkundigen ook muziektheoretici.
B)
Wiskunde in discussie
De drie klassieke problemen
Er waren drie meetkundige problemen, die de denkers in de klassieke periode het meest hebben bezig gehouden:
Verdubbeling van de kubus
Een eenvoudig probleem, dat beschreven wordt in het boek 'Meno' van de grote filosoof Plato (429-348), is het volgende:
Gegeven is een vierkant. Maak daaruit nu een ander vierkant, waarvan de oppervlakte twee maal zo groot is als het gegeven vierkant. (Trek de twee diagonalen en spiegel elke driehoek aan een zijde van het vierkant in die zijde.)
Nu zou de god Apollo bij monde van het orakel van Delos opdracht hebben gegeven om een van de altaren van zijn heiligdom te verdubbelen. Omdat Apollo's altaar een kubisch offerblok was, hadden de inwoners van Delos een wiskundig probleem met politiek-religieuze consequenties. Maar als een lijnstuk en een vierkant zo eenvoudig te verdubbelen zijn, dan kon het toch niet zo moeilijk zijn een kubus te vinden waarvan de inhoud twee keer zo groot is als de inhoud van een gegeven kubus ?
Tegenwoordig berekenen we met gemak, dat dan iedere ribbe met 3Ö2 vermenigvuldigd moet worden. Maar de Grieken accepteerden alleen constructies, die uitgevoerd konden worden met behulp van passer en lineaal. Dat kan alleen als de vermenigvuldigingsfactor een rationaal getal is.
Driedeling van een hoek
Een ander probleem, waarmee de intellectuelen van die tijd zich bezig hielden was het met passer en lineaal in drie gelijke hoeken verdelen van een gegeven hoek. Verdeling in tweeën was eenvoudig: bouw met behulp van je passer een parallellogram op op de benen van de gegeven hoek, dan is de diagonaal vanuit het hoekpunt tevens bissectrice. De verdeling in drieën met een passer is onmogelijk. Daarvoor heeft men een ander apparaat, een 'trisector', nodig (zie 11.B6)).
Kwadratuur van de cirkel
Een derde probleem waar men zich suf over prakkiseerde was het bepalen van de oppervlakte van een cirkel. Van een groot aantal regelmatige veelhoeken kon men de oppervlakte berekenen, d.w.z. een vierkant construeren, waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van de veelhoek, maar de 'kwadratuur van de cirkel' kon men niet vinden (zie C2)).
Sofisten
Deze problemen waren in de vijfde eeuw v. Chr. onderwerp van openbare discussie, bv. op symposia (letterlijk: 'drinkgelagen'), onder meer omdat zij in verband werden gebracht met actuele problemen. Er waren in Athene zelfs leermeesters, die tegen betaling openbare lessen gaven over dergelijke problemen, sofisten. Omdat hun argumenten niet altijd even zuiver waren, keken aristocratische filosofen zoals Plato en Aristoteles op hen neer.
Zo had Hippias van Elis, een van de beroemdste sofisten uit de vijfde eeuw vóór Chr. een kromme lijn bedacht, waarmee je elke hoek in drieën kon verdelen, de 'trisectrix'. Maar het voornaamste bezwaar tegen deze methode was, dat de kromme ontstaat door twee zijden van een vierkant elk een constante snelheid te geven, maar in verschillende richtingen en in een onbekende niet-rationale verhouding, nl. een lineaire beweging en een draaiende beweging.
(De bovenzijde van het vierkant met lengte a beweegt volgens
y = a-at met a ε [0,1], de linkerzijde volgens y = tan{½π(1‑t)x}. Eliminatie van t geeft: x = y/tan(½πy) .)
Deze methode leed dus o.a. schipbreuk op het niet accepteren van irrationale getallen. De ondeugdelijkheid van de oplossingen, die de sofisten gaven leeft voort in ons woord 'sofisme'.
Archytas toonde omstreeks 400 v. Chr. aan, dat 'het Delische probleem' neerkwam op het bepalen van het snijpunt van drie gebogen oppervlakken: een kegel, een cilinder en een omwentelingscirkel, die raakt aan zijn rotatieas.
C) Rekenen met oppervlakken en lijnen
Alles is meetkunde
Tot ongeveer 250 v. Chr. gebruikten de Grieken het primitieve Attische cijfersysteem. Bovendien werden berekeningen meetkundig weergegeven: door lijnstukken te verdelen, oppervlakken samen te voegen, e.d. De delen VII, VIII en IX van Euclides' leerboek 'de Elementen' gaan over rekenkunde, maar er komt geen cijferteken in voor. Alles wordt meetkundig voorgesteld.
Overbrengen van een verhouding
Om een lijnstuk met een lengte van bijv. 4/3 te krijgen gebruikte men de volgende constructie.
Je hebt een lijnstuk OA van één lengteeenheid (bv. 1 dm). Teken
met je lineaal (zonder de schaalverdeling te gebruiken, want die waren taboe)
een scherpe hoek AOT. Pas op OB (hiervoor gebruikte men een passer) vier
gelijke lijnstukjes af ‑ hoé groot doet er niet toe: OP, PQ, QR en RS. Nu
verhouden OR en OS zich als 3 : 4. Verbind R met A. Trek vanuit S een lijn (met
de parallellogramconstructie) evenwijdig aan RA. Noem het snijpunt van deze
lijn met het horizontale been B. Dan is OB = 4/3
dm.
Vermenigvuldigen en delen
Uit onderstaande tekeningen is duidelijk, hoe vermenigvuldiging en deling door middel van lijnstukken voorgesteld werd.
Vermenigvuldigen met p
Delen door p
Figuur 3:
Vermenigvuldigen en delen door lijnstukken
Middelevenredige
Daarnaast was men in staat de middelevenredige tussen twee gegeven lijnstukken p en q te construeren. Dit gaat als volgt. Teken een halve cirkel op een middellijn met lengte AC = p + q. (Tel p en q op en vind het middelpunt door de constructie van de middelloodlijn.) Richt in het ontmoetingspunt B van p en q een loodlijn op. Deze snijdt de cirkel in D. Nu is BD = Ö(pq). Dit volgt uit de evenredigheid van de driehoeken ABD en DBC: p : BD = BD : q. (Vergelijk met figuur 5)
Doordat de Grieken zo'n groot belang hechtten aan een meetkundige bewijsvoering boekten zij, vergeleken met de Babyloniërs, weinig vooruitgang in het oplossen van numerieke problemen. (Zo ontbrak bijv. een algebraïsche notatie, waardoor berekeningen veel eenvoudiger worden.) Pas rond 200 v. Chr. bracht Archimedes van Syracuse daar verandering in.
Oppervlakten van maantje en cirkel
Van Hippokrates van Chios is bekend, dat hij zich veel bezig hield met oppervlakten van cirkels. Hij was in 430 v. Chr. naar Athene gegaan om meetkunde te studeren.
Hij ontdekte, dat de oppervlakte van een sikkelvormig maantje, waarvan de bolle kant een halve omgeschreven cirkel van een vierkant is en de holle kant een boog, die beschreven wordt vanuit het tegenoverliggende hoekpunt met straal gelijk aan een zijde, gelijk is aan die straal in het kwadraat. Omdat de oppervlakte van een segment evenredig is met het kwadraat van zijn basis, geldt: Opp. segment ASC = k.AC2 = k.AB2 + k.BC2 = segment AB + segment BC. Dus Oppervlak maantje = opp ∆ABC + segm.AB + segm.BC ‑ segm.ASC = opp ∆ABC = r2.
Hippokrates ontdekte ook, dat de formule van de vorm Oppervlakte = k.r2 was. In toenmalige wiskundetaal: 'De oppervlakten van cirkels verhouden zich als de vierkanten op hun middellijnen.' In formule: opp1 : opp2 = r12 : r22. Maar daarmee vond hij de kwadratuur van de cirkel nog niet.
Dit voorbeeld laat zien, dat de verhouding van twee irrationale getallen (stel bv. dat r1 en r2 geheel zijn) best rationaal kan zijn. Zo kan men zich ook voorstellen, dat een lijnstuk een irrationale lengte heeft. Toch kan men er alle rationale bewerkingen mee uitvoeren.
D) Crisis in de Griekse denkwereld
Een irrationale diagonaal
Lange tijd waren de Grieken de opvatting toegedaan, dat alle grootheden in het heelal zich tot elkaar verhielden als gehele getallen. In de vijfde eeuw voor Christus bleek echter, dat er meetkundige grootheden bestaan, die zich niét verhouden als gehele getallen.
Dat ontdekten de Grieken al bij de verdubbeling van het vierkant. Immers de zijde van het dubbele vierkant is even lang als de diagonaal van het gegeven vierkant en dus Ö2 maal zo lang als een zijde van dat vierkant. Is Ö2 : 1 dan niet te schrijven als een verhouding van gehele getallen ?
Nee. De Pythagoreeërs leverden daarbij het volgende bewijs:
Neem aan, dat Ö2 : 1 te schrijven is als p : q met gehele p en q. Dan is p = qÖ2 en p2 = 2q2. We mogen veronderstellen, dat de breuk p/q niet te vereenvoudigen is. (Is ze dat wel, dan moet je p en q zolang delen, totdat ze geen gemeenschappelijke factor meer hebben.) Omdat 2q2 even is, is p2 het ook. Maar als p2 even is, moet p het ook zijn, want het kwadraat van een oneven getal is oneven. Dan is p2 deelbaar door 4, zodat p2/4 = ½q2 een geheel getal is, zeg r. Maar uit q2 = 2r volgt, dat q even is. Nu zijn p en q beide even, dus is de breuk p/q wél te vereenvoudigen. Dit is in tegenspraak met onze veronderstelling.
Zo'n bewijs heet 'bewijs uit het ongerijmde' of 'bewijs uit tegenspraak'.
De ontdekking van het bestaan van verschijnselen, die niet te beschrijven zijn als verhoudingen tussen gehele getallen (niet rationaal zijn; ratio = verhouding) was een schok voor de filosofen. De wetten, die de kosmos ordenden bleken niet zo vast te staan als men dacht. Met des te meer ijver ging men zich toeleggen op de meetkunde, die zo'n revolutie in de getallenwereld had teweeggebracht.
Voor de Griekse filosofen was de studie van de meetkunde toch al belangrijk, omdat de vormen van lichamen als het ware boven de materie staan, waaruit zij bestaan en daarom het verstand oefenen in het redeneren over eeuwige waarheden. Zo stond boven de ingang van de academie van Plato: 'Iemand, die geen meetkunde kent, hoort hier niet naar binnen te gaan.'
Aan de andere kant had de nadruk op de meetkundige formulering van problemen het nadeel, dat de Grieken geen algebraïsche notatie ontwikkelden voor berekeningen en in het oplossen van numerieke problemen niet verder kwamen dan de Babyloniërs eeuwen daarvoor.
Paradoxen
Tegelijk met de ontdekking van het 'irrationele/nale' werd de filosofische wereld uitgedaagd door de kritiek van Zeno van Elea (450 v. Chr.) op het Pythagorese wereldbeeld. Deze bewees aan de hand van vier 'paradoxen', dat de som van oneindig veel kleine getallen niet altijd oneindig is. Hier volgt er een.
Achilles en een schildpad bewegen zich in dezelfde richting langs een rechte lijn. Achilles is veel sneller dan de schildpad, maar om de schildpad in te halen moet hij eerst het punt P passeren, waar deze startte. Als hij P passeert, is de schildpad gevorderd tot punt P1. Achilles kan de schildpad niet inhalen, voordat hij punt P1 heeft gepasseerd, maar de schildpad is dan in een nieuw punt P2. Als Achilles in P2 is, heeft de schildpad een nieuw punt P3 bereikt, enz. Dus Achilles kan de schildpad nooit inhalen.
Zeno's paradoxen waren bedoeld als kritiek op de Pythagoreers. Die dachten, dat continue grootheden, zoals lengte, oppervlakte en tijd altijd verdeeld kunnen worden in een oneindig aantal kleine eenheden. Zij beweerden: 'Elk punt in de ruimte is een eenheid.' Zeno's paradox (letterlijk: 'bezijden de (normale) mening') toonde aan, dat oneindig veel stukjes lijn samen niet meer opleveren dan het door de schildpad afgelegde lijnstuk. Hoe konden zij dan beweren, dat je met oneindig veel zulke stukjes de enorme afstanden in het heelal kunt overbruggen ?
Er was - zeggen sommige geschiedkundigen - sprake van een crisis in de Griekse denkwereld: Was wiskunde als exacte wetenschap wel mogelijk ? Was het toeval, dat deze filosofische verwarring samenviel met de politieke verwarring die leidde tot de nederlaag van Athene in de Peloponnesische oorlog tegen Sparta en Corinthe in 404 ?
E)
Onderlinge meetbaarheid en het algoritme van
Euclides
Grootste gemene deler van twee gehele getallen
Sommige geschiedkundigen menen, dat de Grieken al aan het begin van de vierde eeuw beschikten over een methode om te bewijzen, dat twee grootheden een irrationale verhouding hadden. Tevens kon je met die methode bepaalde irrationale getallen numeriek benaderen. Theaetetus (415-369) onderzocht en klassificeerde niet onderling meetbare getallen. De resultaten van zijn werk zijn terug te vinden in deel X van Euclides' 'Elementen' (zie 4.A6)).
Er is een handige methode om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden. Deze kan men meetkundig uitvoeren. Rekenkundig kan men haar als volgt beschrijven. Neem 923 en 403.
, dus ook 
. Substitutie van de uitdrukking voor rn+1/rn
in
.