1. Europa tot aan de Renaissance

A Van verval tot herleving

vermelde personen in 1.A:		Alquinus van York	735-804
Aristoteles	384-322 v. Chr.	al-Chwârizmî	790-840
Ptolemaeus, Claudius	85-165	Adelard van Bath	1090-1160
Boëthius	480-524	Gerard van Cremona	1114-1187

1) 400–1000: Germanen op de ruïnes van de Romeinse beschaving

In de vierde eeuw verzwakte het Romeinse rijk zienderogen door aanvallen van Germaanse stammen. De gebieden aan de overzijde van Rijn en Donau werden opgegeven, maar ook binnen de nieuwe rijksgrenzen vestigden zich Germaanse heersers die slechts in naam het gezag van de Romeinse keizer erkenden. Germaanse koninkrijken ontstonden in Gallië en Spanje, zoals het Frankische rijk van de latere koning Clovis en Aquitanië, het uiteindelijke land van vestiging van de West-Goten. De Vandalen staken in 407 de Rijn over en begonnen aan een veroveringstocht, die eindigde in Noord-Afrika, waar zij hun koninkrijk stichtten. Plotseling doemden de Hunnen, stamverwant met de Tataren, op uit de Centraal-Aziatische steppen. Zij werden gelijkelijk gevreesd door Romeinen en Germanen. In 451 versloegen hun gezamenlijke legers het leger van koning Attila. In 455 stak de Vandaalse koning Genserik, ariaan van gezindte en verklaard vijand van het christelijke Roomse rijk, de Middellandse Zee over en plunderde Rome. In 476 zette de Germaanse koning Odoacer keizer Romulus Augustulus af. Twaalf jaar later veroverden de Oost-Goten Italië. Hun koning Theoderik handhaafde voor zover mogelijk de bestaande religieuze en sociale orde. Sinds de vierde eeuw was de christelijke kerk goed georganiseerd en ook de kerk bewaarde zo goed als ze kon de culturele traditie van het Romeinse rijk. Veel Germaanse stammen hadden zich met hun leiders bekeerd tot het katholieke geloof.

Theoderik benoemde Boëthius (zie Ea[1], 5.C2), telg uit een oude Romeinse familie, tot minister en Cassiodorus tot hoogste rechter. Cassiodorus stichtte kloosters, waar hij de monniken manuscripten van klassieke auteurs liet overschrijven.

Boëthius stelde zich tot taak de resten van de Grieks-Romeinse beschaving aan de nieuwe Germaanse generatie door te geven. Het Latijn bleef de taal van de Kerk en de wetenschap.

Hij vertaalde enkele werken van Aristoteles in het Latijn, schreef op basis van een gebrekkige kennis van enkele delen van Euclides' "de Elementen" een (slecht) leerboek over meetkunde, een boek over getallenleer, dat niet verder reikte dan wat al aan de Pythagoreeërs bekend was (geen breuken en negatieve of irrationale getallen), een boek over sterrenkunde en een over muziek. Hiermee bestreek hij het viertal 'vrije kunsten' ('quadrivium'), dat op de hogere (klooster)scholen onderwezen werd. Daarnaast bestond het op de 'lagere' scholen onderwezen 'trivium': spraakkunst, welsprekendheid en redeneerkunst (logica).

Tekstvak: Figuur 1: Rekenwedstrijd tussen Pythagoras (575-500 v.Chr.) en Boëthius onder toezicht van Aritmetica,één van de zeven Vrije Kunsten
(gravure uit "Margarita Philosophica", Gregor Reisch, 1508)

Het verdwijnen van het centrale gezag had niettemin grote gevolgen. De grootschalige economie en het geldstelsel verdwenen. De steden gingen achteruit en feodale landadel kwam aan de macht. In het Frankische rijk werd deze vanaf 751 geleid door de Karolingers.

De macht in het niet-islamitische deel van Europa werd gedeeld door de paus in Rome en de Oost-Romeinse keizer. Om de Germaanse landen aan zich te binden kroonde de paus in het jaar 800 Karel de Grote tot 'Keizer van het heilige Roomse rijk'. Deze wist zijn rijk uit te breiden van Denemarken tot Italië en van de Donau tot Spanje.

Aan het Karolingische hof was ook Alquinus van York verbonden. Deze stichtte op het vasteland tal van scholen en schreef "Problemen voor het scherpen van de geest", waarin veel oosterse raadseltjes voorkwamen zoals:

"Een wolf, een geit en een kool moeten overgevaren worden naar de andere oever van een rivier. De boot kan behalve de veerman maar een van de drie bevatten. In welke volgorde moet de veerman hen overvaren zo dat de geit de kool niet eet en de wolf de geit niet verslindt?"

Van 400 tot 1100 boekte de wiskunde in Europa geen enkele vooruitgang. Alleen dank zij de Franse monnik Gerbert, die tussen 967 en 969 Arabische scholen in Spanje bezocht, maakte men in Europa kennis met het astrolabium en de spiegel, voor het bepalen van hoogten en afstanden (astrolabium = 'sterrennemer'. Wij zeggen nog: 'poolshoogte nemen').

Terwijl men in Frankrijk nog rekende met behulp van de abacus (telbord), verdiepte Gerbert zich in de kennis van de Indo-Arabische cijfers. Gerbert werd al spoedig raadsman van keizer Otto III (wiens grootvader Otto I in 962 als eerste Duitser gekroond was tot 'Keizer van het heilige Roomse rijk') en werd in 979 tot paus gekozen onder de naam Sylvester II.

Door dergelijke contacten raken de geleerden in Europa op de hoogte van het bestaan van de bloeiende Arabische cultuur en bijv. ook van de Indo-Arabische cijfers.

2) Opkomst van de steden

In de elfde en twaalfde eeuw nemen de steden in Europa geleidelijk in omvang toe dank zij een grotere agrarische productie door betere landbouwmethoden. Handel en geldeconomie groeiden. Westerse studenten komen, eerst in Spanje en op Sicilië, in contact met de islamitische cultuur. Spanje is het grote culturele centrum, waar onder anderen filosofen als Averroës en de joodse geneesheer Maimonides doceerden. In Toledo functioneert een school van vertalers, waar joden vaak als tolk fungeren. Adelard van Bath bezoekt Spanje, Jeruzalem, Damascus en Bagdad en vertaalt o.a. astronomische tabellen van al-Chwârizmî, "de Elementen" van Euclides en de "Almagest" van Ptolemaeus.

De meest vruchtbare vertaler is echter Gerard van Cremona, die leiding geeft aan de vertaling van meer dan 80 werken. Hij levert een beslissende bijdrage aan de opleving van de middeleeuwse wetenschap.

Terwijl de natuurleer van Aristoteles in 1215 verboden was, wordt zij twintig jaar later weer toegelaten en een eeuw later is de studie van Aristoteles zelfs voorwaarde om leermeester in de theologie te worden.

In Europa heerste als filosofische stroming de 'scholastiek', de leer der kloosterscholen. Zij was er op gericht de dogma's, die in de voorafgaande eeuwen onder leiding van de kerkvaders waren vastgesteld, filosofisch te onderbouwen en toegankelijk te maken voor de nog niet gekerstende volken. Door de studie van uit het Arabisch vertaalde geschriften wordt het intellectuele klimaat langzamerhand iets liberaler. In vele steden worden universiteiten ("universitas litterarum" = geheel der wetenschappen) gesticht: Parijs, Keulen, Oxford, Bologna en Padua. Dit zijn internationale studiecentra, gericht op het ontwerpen van een compleet wereldbeeld onder leiding van de officiële theologie. Tot dan toe werden theologie en filosofie, welke laatste alle vrije kunsten omvatte, alleen onderwezen aan hogere kloosterscholen.

B Twee eeuwen van bloei

vermelde personen in 1.B:		Grosseteste, Robert	1168-1253
Aristoteles	384-322 v. Chr.	Leonardo van Pisa	1170-1250
Eudoxos	325-265 v. Chr.	Albert de Grote	1206-1280
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Bacon, Roger	1214-1292
Apollonius van Perga	262-190 v. Chr.	Willem van Moerbeke	1215-1286
Heron van Alexandrië	10-75	Campanus van Novara	1220-1296
Diophantus van Alexandrië	200-284	Thomas van Aquino	1225-1274
Augustinus van Hippo	354-430	Bradwardine, Thomas	1295-1349
al-Chwârizmî	790-840	Oresme van Lisieux	1323-1382
al-Karkhî	953-1029	Galilei, Galileo	1564-1642
al-Samaw'al	1130-1180	Suiseth, Richard	werkbloei 1350

1) Leonardo van Pisa

De steden bevochten hun onafhankelijkheid van de landadel, vaak in bondgenootschap met de vorsten. Deze verleenden aan de burgers rechten, waardoor zij zelf meer macht kregen over de adel. Militaire (kruistochten) en handelscontacten kwamen tot stand met het oosten. Vanuit Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence gingen handelaren naar het oosten. Zoals 1800 jaar eerder belangstelling voor wiskunde was ontstaan bij zeevarende Griekse kooplieden, zo verzamelden nu Italiaanse kooplieden informatie uit het Verre (Marco Polo) en het Nabije Oosten (Leonardo van Pisa).

Leonardo's vader was koopman en douanebeambte geweest in Algerije. Daar leert Leonardo Arabisch en wiskunde van een kruidenkoopman. Op zijn eigen handelsreizen probeert hij meer te weten te komen van de Arabische wetenschap. Hij bereist Sicilië, Egypte, Syrië en Griekenland. Bij terugkeer in Italië rond 1200 schrijft hij het "Boek over het telbord", waarin hij begint met de betekenis van de negen Indische cijfers uit te leggen en van het teken '0', 'dat in het Arabisch 'sifr' wordt genoemd'. Vandaar 'zéro' en 'chiffre' in het Frans en 'cijfer' in het Nederlands.

Vervolgens doet hij de optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en het worteltrekken voor.

Hij behandelt allerlei financieel-rekenkundige problemen, de oplossing van tweedegraads vergelijkingen, onbepaalde vergelijkingen, berekeningen met wortels, enz. Daarbij put hij uit Euclides' "de Elementen" en uit geschriften van Heron van Alexandrië en al-Chwârizmî. Waarschijnlijk heeft hij ook contact gehad met de school van algebra-rekenmeesters al-Karkhî (of al-Karaji) en al-Samaw'al (zie Ea, 6.C4).

Het boek was te moeilijk voor zijn tijdgenoten en werd op de scholen niet gebruikt. Toch heeft het op de lange duur een grote invloed gehad.

Een beroemd probleem, dat in het "Liber abbaci" behandeld wordt is:

"Hoeveel konijnenparen worden er iedere maand geboren, als je met één paar begint en elk paar na de eerste levensmaand elke maand één nieuw paar voortbrengt ? Er gaan geen konijnen dood."

Het eerste paar is de eerste maand nog alleen. De tweede maand brengt het een tweede paar voort en na een maand nog een paar, zodat er dan drie paren zijn. De vierde maand produceren de paren van maand één en twee beide een paar, zodat er dan vijf paren zijn, enz.

Dit geeft de volgende reeks:

maand	1	2	3	4	5	6	7	8	9
aantal paren	1	1+1=2	2+1=3	3+2=5	5+3=8	8+5=13	21	34	55

enz. Als je het aantal konijnenparen in de n-de maand t_n noemt, geldt de betrekking t_n+1 = t_n + t_n-1, d.w.z. het aantal konijnen is gelijk aan dat van de vorige maand plus het aantal nieuwgeborenen, maar dat aantal is gelijk aan het aantal konijnen van de eervorige maand.

Niet alleen gaat deze groei steeds sneller, met de groeifactor is ook iets bijzonders aan de hand: t₂/t₁=2, t₃/t₂=1,5, t₄/t₃=1,667, vervolgens 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618, enz.

Als je de teruglopende betrekking t_n+1 = t_n + t_n-1 aan beide zijden deelt door t_n en de limiet neemt voor n ® ¥, dan moet deze voldoen aan de vergelijking . Dus lim is het 'gulden' getal. g = ½ + ½√5 » 1,618 (zie Ea, 4.A5). Dit is het oudst bekende voorbeeld van een exponentieel biologisch groeimodel.

Omdat Leonardo in Europa bekend werd onder de naam Fibonacci ('zoon van Bonaccio' of 'goedaardige zoon') wordt de getallenreeks sindsdien 'reeks van Fibonacci' genoemd.

Fibonacci bewees ook op aanschouwelijke manier, dat

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ........ + n³	= (1 + 2 + 3 + ..... + n)²
	= {½.n(n+1)}²

Daartoe schreef hij de som van de oneven getallen neer in de vorm van een driehoek. Dan valt af te leiden, dat op de k-de regel k termen staan, die gemiddeld gelijk zijn aan k², dus

1	= 1³
3+5	= 2³
7+9+11	= 3³
13+15+17+19	= 4³
21+23+25+27+29	= 5³
..................	= ..³
............................?	= n³

Het laatste oneven getal in de optelling (aangegeven met ?) is het getal met rangnummer 1+2+3+ ........ +n = ½.n(n+1). De som van deze eerste ½.n(n+1) oneven getallen is vanwege 1+3+5+ ........ +(2p—1) = p² gelijk aan {½.n(n+1)}².

Het boek bevat verder vooral rekenproblemen bij het omwisselen van geld. Een ramp voor de moderne lezer, want hij gebruikt zowel gewone, zestigtallige als Egyptische eenheidsbreuken (zie Ea, 1.A3) !

Het was in die tijd gebruikelijk, dat aan grote middeleeuwse hoven niet alleen kunstenaars, maar ook geleerden hun vaardigheden vertoonden. Zo werd Leonardo van Pisa door de Duitse keizer Frederik II omstreeks 1220 uitgenodigd om deel te nemen aan een rekenkunstige wedstrijd aan zijn hof. Een van de opgaven was om een rationaal getal te vinden, zodanig dat zowel vermeerdering als vermindering van het kwadraat van dat getal met 5 een kwadraat oplevert. Leonardo vond het antwoord: 3⁵/₁₂. Immers (⁴¹/₁₂)² — 5 = (³¹/₁₂)² en (⁴¹/₁₂)² + 5 = (⁴⁹/₁₂)².

Hoe kwam hij aan deze oplossing ?

Het hele bewijs staat in zijn in 1225 verschenen "Liber Quadratorum". Ook hierbij maakte hij gebruik van de eigenschap, dat de som van de eerste p oneven getallen gelijk is aan p².

Maar omdat afleidingen, net als bij de Grieken en Arabieren (al-Chwârizmî), nog door vergelijking van oppervlakken tot stand komen, is het voor ons moeilijke lectuur. Misschien zou Leonardo tegenwoordig gebruik maken van pythagoreïsche drietallen (zie Ea, 1.C3) x = p² — q² en y = 2pq, deze invullen in de identiteit om zo te komen tot de vergelijking met 5t² = pq(p²—q²). Als er natuurlijke getallen t, p en q, (p>q en relatief priem) te vinden zijn, die voldoen aan 5t² = pq(p²—q²), dan is het vraagstuk opgelost. Eén van de getallen p of q zal 5 moeten zijn (en geen veelvoud van 5, want dan moet q dezelfde veelvoudfactor hebben en zijn p en q niet meer relatief priem). De gezochte getallen zijn t = 6, p = 5 en q = 4. Het gevraagde rationale getal is (5² + 4²)/(2.6) en de kwadraten zijn {(2.5.4 ± 9)/(2.6)}².

Had de keizer een hofwiskundige die wist, wat de oplossing van het gestelde probleem was ? Het bijzondere is namelijk, dat het probleem met 5 oneindig veel oplossingen heeft, maar daarvan slechts één oplossing is met zowel p als q minder dan 10 000 ! En dat het probleem géén oplossing heeft, als bij het kwadraat van het gevraagde rationale getal 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 18 of 19 enz. wordt opgeteld of afgetrokken.

Bij ieder getal waarvoor een oplossing bestaat, moeten er - zo valt te bewijzen - nog oneindig veel andere oplossingen zijn ! Hoe die te vinden is een zaak die het beste aan de computer overgelaten kan worden.

Er is nog geen methode gevonden om voor elk natuurlijk getal N uit te maken, of er oneindig veel of juist geen oplossingen te vinden zijn.

Overigens wordt het probleem om bij een natuurlijk getal N een rationaal getal r te vinden zodanig, dat zowel r² + N als r² — N kwadraten van rationale getallen zijn, al door Diophantus en in een Arabisch geschrift uit de tiende eeuw aan de orde gesteld. Volgens J.H.Coates (1988) is dit het oudste onopgeloste wiskundige probleem.

In het "Boek van de kwadraten" maakt Fibonacci ook veelvuldig gebruik van de gelijkheden:

(a² + b²)(c² + d²) = (ac—bd)² + (ad+bc)² = (ac+bd)² + (bc—ad)² [2]

in woorden: Als twee getallen beide geschreven kunnen worden als de som van twee kwadraten, dan kan hun product ook zo geschreven worden. Een soortgelijke regel voor het verschil van twee kwadraten was al zeer oud (zie Ea, 4.B5).

Fibonacci schreef nog andere werken: "Bloem" en "Meetkunde doen". In het laatste werk staat onder andere het bewijs, dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar verdelen in de verhouding 1 : 2.

Ongetwijfeld was hij de meest creatieve wiskundige van de Middeleeuwen.

2) Bloei van de scholastiek; opkomst van de wetenschapsleer

De universiteit van Parijs was het intellectuele centrum van de christenheid geworden. Sinds 1253 wordt Aristoteles er weer officieel bestudeerd. Daardoor worden vooral de natuurwetenschap, sterrenkunde, geneeskunst en logica opnieuw doordacht. Het zijn vooral de paters dominicanen, dezelfde die ook vaak een voorbereidende rol spelen voor de 'Inquisitie', die er hoogleraar zijn. De grote wetenschapper (bioloog, scheikundige, geneeskundige, arabist, kenner van Aristoteles en theoloog) Albert de Grote verkondigt er, dat "alleen onderzoek geeft zekerheid". Albert von Bollstädt, zoals hij eigenlijk heet, is afkomstig uit een Duits adellijk geslacht. Tijdens zijn professoraat wordt hij tot hoofd van de orde der dominicanen in Duitsland benoemd en later tot bisschop, maar tenslotte treedt hij op eigen verzoek af om zich aan zijn wetenschappelijke arbeid te kunnen wijden.

Diens leerling, de Italiaan Thomas van Aquino, eveneens van adellijke komaf, verwerft zich een nog veel grotere kennis van Aristoteles dan Albert de Grote. Dit heeft hij deels te danken aan zijn kennismaking met de Zuid-Nederlander Willem van Moerbeke. Deze was als bisschop van de Griekse stad Corinthe in aanraking gekomen met manuscripten van Aristoteles en Archimedes in het Grieks. Van Aristoteles vertaalde hij een groot aantal werken. (Van wiskunde wist hij niet zo veel, maar hij vond de vondst van Archimedes toch zo belangrijk, dat hij diens belangrijkste werken zo letterlijk mogelijk vertaalde. Daaronder waren er ook, die de Arabieren niet kenden: "Oppervlakte onder een parabool", "Spiralen" en "Kegelsneden en hun omwentelingslichamen" !)

Van 1269 tot 1272 was Thomas een wereldberoemd hoogleraar in de theologie in Parijs. Zijn leer draagt nog steeds de naam 'thomisme' en is te beschouwen als het hoogtepunt van de scholastiek. Daarin bereikt hij een omvattende synthese van het aristotelisme en de theologie.

In Engeland is Oxford de toonaangevende universiteit. Daar doceren vooral franciscanen, die aansluiten bij het platonisme van Augustinus en groot belang hechten aan de wiskunde.

In de Arabische wereld waren de grote Aristoteles-uitleggers Avicenna (oosters kalifaat) en Averroës (westers kalifaat) in respectievelijk de elfde en twaalfde eeuw, onder andere door hun 'heidense' uitwerking van de filosofie van Aristoteles, in conflict gekomen met de islamitische orthodoxie.

In het christelijke westen speelt zich een vergelijkbare ontwikkeling af in de figuur van Roger Bacon (niet te verwarren met de latere Francis Bacon). Deze was franciscaan en leerling van de bisschop van Londen, Robert Grosseteste. Terwijl de leermeester slechts wees op het belang van erkenning van de feiten der natuur, verkondigt de leerling: "Zonder ervaring kan niets afdoende geweten worden". Bacon doet zelf vele natuurkundige experimenten, waarvoor hij zijn hele vermogen verbruikt. Zo beschrijft hij weerkaatsing en breking van lichtstralen, bespreekt de nieuwe (uit China afkomstige) uitvindingen van het buskruit, magnetisme enz. In Engeland geboren, studeert hij in Oxford en vervolgens in Parijs, waar hij zich alle vakken van de wetenschap eigen maakt. Hij ontdekt, dat een jaar iets korter duurt dan 365¼ dagen en dat de seizoenen daardoor steeds eerder beginnen. Dit leidt 300 jaar later tot de invoering van de Gregoriaanse kalender.

Zijn filosofie legt hij neer in "Opus maius", "Opus minus" en "Opus tertium" ("Grote, kleine en derde werk"). Daarin uit hij ernstige kritiek op het thomisme. Hij maakt spottende opmerkingen over geleerden die dikke boeken over Aristoteles schrijven zonder maar zijn taal (Grieks) te verstaan. Niet zozeer de grammatica (een van de 'vrije kunsten', zie A1), maar de studie van vreemde talen behoeft alle aandacht. De bestaande vertalingen, ook die van de Bijbel, vertonen volgens hem vele tekortkomingen! Verder verwijt hij de scholastici, dat zij nog te veel een beroep doen op autoriteiten: kerkvaders, de Bijbel en Aristoteles, en daaruit door deductie kennis afleiden.

Zijn derde verwijt is, dat de scholastici zeer onvoldoende kennis hebben van de wiskunde, die hij als de grondslag van alle wetenschappen beschouwt.

De kerkelijke autoriteiten verbieden hem zijn ontdekkingen op te tekenen en aan anderen mee te delen. Omdat hij aan dit verbod probeert te ontkomen, wordt hij voor tien jaar verbannen naar Frankrijk. Uiteindelijk sterft Bacon in 1294 in een Engelse kerker. Voor Bacon waren de 'heidenen' Aristoteles, Avicenna (Abu Ali Hussein ibn Abdallah ibn Sinâ) en Averroës (al-Walid Muhammad ibn Ahmad ibn Muhammad ibn Rushd)[3] de grootste filosofen aller tijden. Toch houdt hij zijn hele leven vol, dat zijn filosofie beter in staat is dan de thomistische om het geloof en de theologie te dienen.

3) Continue grootheden; de eerste grafieken

De theorieën van Aristoteles op het gebied van de bewegingsleer (kinematica) waren nog erg primitief. Zo had hij geschreven, dat de snelheid van een voorwerp dat onderhevig is aan een constante wrijving, evenredig is met de grootte van de voortstuwende kracht: v = cF. De wiskundige, filosoof en theoloog Thomas Bradwardine besefte, dat deze wet in tegenspraak is met de ervaring, dat bij een geringe voortstuwende kracht het voorwerp geheel tot stilstand komt. Hij stelde daarom een verband voor, dat in moderne notatie de vorm zou hebben v = c.log(F). Kennelijk heeft hij zijn theorie nooit getest! Niettemin gaf zij blijk van kritiek op de grootmeester der filosofen. Bradwardine klom op tot de rang van aartsbisschop van Canterbury.

Hij schreef nog meer boeken over wiskunde. In dit kader zijn voor ons het meest interessant "Speculatieve meetkunde" en "Verhandeling over continue grootheden". Thomistische filosofen accepteerden het axioma van Archimedes (zie Ea, 3.A3), dat een continue grootheid zoals oppervlakte onbeperkt in kleinere delen kan worden verdeeld. Dit gold ook voor een lijn: een kleinste lijn bestond niet, want die kon weer verdeeld worden. Dus bestond een lijn ook niet uit punten, want een punt is ondeelbaar.

Ook deze gedachte was in strijd met de aristotelische uitspraak: "Infinitum actu non datur" ("Er bestaat niet werkelijk zoiets als oneindig".)

Bisschop Oresme van Lisieux schreef: "Alles wat meetbaar is, behalve de (natuurlijke) getallen, kun je je voorstellen als continue kwantiteit". Het was nog betrekkelijk nieuw om een variabele eigenschap zoals snelheid als object van meting te zien. Nicole (Nicholas) Oresme was een van de eersten die op het idee kwam een 'grafiek' van snelheid te maken. Hij tekende een snelheid-tijd diagram van een lichaam, dat beweegt met eenparige versnelling (zie figuur 2). Oresme was zich er van bewust, dat de rechthoekige oppervlakte onder deze grafiek de afgelegde weg voorstelde. Later onderzoek zou tot de wet van Galilei leiden, die zegt, dat de afgelegde afstand evenredig is met het kwadraat van de tijd.

Figuur 2: Oresmes grafiek van uniform versnelde beweging

Weliswaar waren coördinatenom meetkundige figuren mee te beschrijven al in gebruik sinds de tijd van Apollonius, maar de voorstelling van een continu veranderlijke grootheid door een grafiek was geheel nieuw.

Een "Verhandeling over lijnen van eigenschappen" uit Oresmes omgeving werd talloze malen gekopieerd en beleefde na 1482 minstens vier drukken in 25 jaar tijd.

4) Oneindig klein en oneindig groot; reeksen

Al maakte Eudoxos bij zijn methode van 'uitputting' gebruik van een procedé van onbeperkte duur, de Grieken verafschuwden het idee 'oneindig'. Dank zij dubbel gebruik van het tegenspraakargument (zie Ea, 4.B2) hadden zij dat begrip ook niet nodig.

Voor de kerkvaders, die het geloof in Christus en zijn belofte van een eeuwig Rijk een theologische basis gaven, lag dat anders. Sint Augustinus had in "De Stad Gods" de reeks van gehele getallen opgevat als een feitelijke 'oneindigheid'. Daardoor hadden ook de scholastici grote belangstelling voor 'oneindig' zowel als eigenschap in aanleg als in werkelijkheid.

Een Engels rekenkundige, Richard Suiseth, loste omstreeks 1350 het volgende probleem op: "Als gedurende de eerste halve minuut een variabele grootheid een bepaalde waarde heeft, de volgende kwart minuut twee maal die waarde, de volgende achtste minuut drie maal die waarde en zo voorts, dan zal de gemiddelde waarde over het hele tijdsinterval gelijk zijn aan twee maal de oorspronkelijke waarde." Dit betekent: .

Suiseth gaf hiervan een langdradig bewijs in woorden. Oresme slaagde er echter in dit met behulp van een grafiek duidelijk te maken.

Figuur 3: Oresmes grafiek van de som van een oneindige reeks

(Verdeel het gedeelte van de grafiek dat aan de rechterkant boven de stippellijn y = 2 uitsteekt in stroken van 1 breed, dan zijn de horizontale lengtes van die stroken resp. ¼, ¹/₈, ¹/₁₆, ¹/₃₂ enz. De som van hun oppervlakten is dus juist gelijk aan ½, dat is de oppervlakte die de grafiek aan de linkerkant ten opzichte van de lijn y = 2 tekort komt.)

Hij behandelde ook andere reeksen met een rekenkundig toenemende teller en een meetkundig toenemende noemer grafisch.

De meest beroemde is echter de 'harmonische reeks'

, waarvan hij aantoonde, dat ze 'divergeert', d.w.z. dat de som hiervan willekeurig groot wordt. Welk getal je ook kiest, door genoeg termen van deze reeks samen te nemen, kun je er voor zorgen, dat de som daarvan groter is dan dat gekozen getal.

Een huiskapelaan van de paus, Campanus van Novara, maakte omstreeks 1260 een nieuwe gezaghebbende vertaling van Euclides' "de Elementen" uit het Arabisch naar het Latijn (zie ook A2). Zijn vertaling zou in 1482 de eerste gedrukte uitgave beleven.

Naar aanleiding van deel X van "de Elementen" worstelde Campanus met het probleem van de hoornhoek, d.w.z. een hoek tussen een boogstuk van een cirkel en de raaklijn in een uiteinde. Kon een gewone hoek ooit zo klein gemaakt worden als een hoornhoek ? Zo ja, dan had hij grootte 0. Zo nee, dan kon je hem niet in graden meten.

Naar aanleiding van boek IV beschreef hij een nieuwe methode om een hoek in drie gelijke delen te verdelen (zie Ea, 2.B1).

5) Verval van de middeleeuwse wetenschap

Halverwege de veertiende eeuw slaat de Zwarte Dood op een verschrikkelijke manier toe in Europa. Eén derde tot de helft van de bevolking komt om. Zo sterft ook Thomas Bradwardine aan de pest.

In de vijftiende eeuw wordt Frankrijk verscheurd door de honderdjarige oorlog (waarin Jeanne d'Arc het opnam tegen de Engelsen) en Engeland door de Rozenoorlogen (de strijd om de Engelse troon tussen het huis York en het huis Lancaster, gewonnen door Hendrik VII Tudor).

Door deze gebeurtenissen wordt het maatschappelijk leven ontwricht en de wetenschappelijke activiteit vervalt. Italiaanse, Duitse en Poolse universiteiten nemen op allerlei wetenschappelijk gebied de leiding over van Oxford en Parijs.

2. De Renaissance

A Popularisering van rekenen en algebra; 1450-1550

vermelde personen in 2.A: Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Bradwardine, Thomas	1295-1349
Apollonius van Perga	262-190 v. Chr.	Müller, Johann	1436-1476
Chang Tsang	230-152 v. Chr.	Chuquet, Nicolas	1445-1488
Heron van Alexandrië	10-75	Pacioli, Luca	1445-1517
Ptolemaeus, Claudius	85-165	La Roche, Estienne de	1470-1530
Diophantus van Alexandrië	200-284	Stifel, Michael	1487-1567
Brahmagupta	598-670	Riese, Adam	1492-1559
al-Chwârizmî	790-840	Apian, Peter	1495-1552
al-Samaw'al	1130-1180	Rudolph, Christoph	1500-1545
al-Tusi, Nasir al-Din	1201-1274	Recorde, Robert	1510-1558

1) Gedrukte boeken zetten beweging op gang

Het eerste met bewegende lettertypen gedrukte boek verscheen in 1447. Aan het einde van de vijftiende eeuw waren er al dertig duizend gedrukte boekuitgaven in omloop.

In diezelfde periode werden steeds meer Griekse literaire en artistieke vondsten gedaan, wellicht ook bespoedigd doordat Constantinopel in 1453 veroverd werd door de Turken en oude Griekse manuscripten in het westen opdoken.

Tot dan toe was de hoofdstroom van wetenschappelijke kennis via het Arabisch in het Latijn vertaald, zo zelfs dat het middeleeuwse Latijn veel Arabische leenwoorden bevatte.

Er kwam nu een beweging op gang, waarbij het Latijn weer in zijn klassieke vorm bestudeerd werd en ook de Griekse cultuur een wedergeboorte of 'Renaissance' beleefde. Dit had direct grote invloed op de literatuur en de kunsten, niet zozeer op de natuurwetenschappen. Eén reden daarvoor was, dat moeilijke wiskundige teksten, zoals die van Archimedes en Apollonius, voor de middeleeuws geschoolde lezer te hoog gegrepen waren.

Het was vooral de algebra, die zich snel ontwikkelde op grond van middeleeuwse en Arabische (al-Chwârizmî: zie Ea, 6.A4) en 7.D1) teksten. Nieuwe algebra leerboeken werden gepubliceerd, die overgingen op Indo-Arabische getallen en begonnen met een uitleg hoe deze te gebruiken voor alle rekenkundige bewerkingen. Nieuw was, dat een aantal daarvan ook in de nationale talen verscheen, waardoor de wiskunde toegankelijk werd, met name voor leken.

2) Regiomontanus

Johann Müller werd in 1436 geboren in de Oost-Pruisische stad Königsberg of Koningsbergen (nu de Russische enclave Kaliningrad). Hij ging wiskunde en sterrenkunde studeren in Leipzig en Wenen. Daar kwam hij in contact met de voormalige bisschop Bessarion van Nicea, met wie hij naar Rome reisde. Bessarion kende de Grieks-byzantijnse beschaving goed, maar was ook zeer goed op de hoogte van de renaissancebeweging in West-Europa. Müller leerde Grieks van hem en verzamelde Griekse manuscripten van Grieken, die voor de Turken waren gevlucht. Als een echt renaissancist liet hij zich naar zijn geboortestad "Regiomontanus" (Koningsbergenaar) noemen.

Terug in Duitsland begon hij in Neurenberg, waar inmiddels ook een universiteit was opgericht, een drukkerij met de bedoeling om door hem uit het Grieks vertaalde werken te drukken: Ptolemaeus, Apollonius, Heron en Archimedes. Van belang is zijn ontdekking in Venetië van een manuscript van Diophantus' "Rekenkunde".

Regiomontanus richtte ook een sterrenwacht op. Een nieuwe vertaling van de "Almagest" (150 n. Chr.), over de wiskunde van het heelal, verscheen in 1515. Deze deed het debat over Ptolemaeus' systeem herleven.

Van groot belang was de uitgave van zijn studie over driehoeksmeting "De triangulis omnimodis" (1533, Over allerlei soorten driehoeken). Waarschijnlijk maakte hij daarbij gebruik van Nasir al-Dins "Verhandeling over de volledige vierhoek" uit 1265 (zie Ea, 4.D1).

In dit boek komen geheel nieuwe constructies van driehoeken voor, bijv. die waarbij een zijde, de hoogte op die zijde en de tegenoverliggende hoek gegeven zijn of een zijde, de hoogte op die zijde en de verhouding van de twee andere zijden. De sinusregel in gewone driehoeken en in boldriehoeken wordt afgeleid.

In "Tabulae directionum" neemt Regiomontanus tafels op van sinus en tangens voor hoeken van 0° tot 90° bij een straal van resp. 600 000 en 100 000. Door een zeer grote straal te nemen werd het gebruik van (lastige) breuken overbodig.

Regiomontanus wordt als sterrenkundige door de paus uitgenodigd om deel te nemen aan een project ter hervorming van de kalender, maar aangekomen in Rome in 1476, sterft hij op mysterieuze wijze. Helaas duurt het daardoor nog vele jaren, voordat zijn laatste twee boeken gedrukt worden.

3) Algebra leerboeken

Met 'leerboek' wordt hier een boek bedoeld, meestal in de landstaal geschreven, dat een breed overzicht geeft van de stand van kennis van de algebra en Indo-Arabische getallen invoert, vergezeld van oefeningen.

De Fransman Nicolas Chuquet, arts en wiskundige, stelde in 1484 drie delen samen over de wetenschap der getallen: "Le triparty en la science des nombres".

Hoewel dit leerboek pas in 1880 voor het eerst in druk verscheen, heeft het als manuscript invloed uitgeoefend op met name de notatie van algebraïsche vergelijkingen. Een andere Fransman, Éstienne de la Roche, plagieerde het werk bijna in zijn geheel in zijn, wel onmiddellijk in druk uitgegeven "Larismethique nouvellement composée" (1520).

De nieuwe schrijfwijzen, die Chuquet bracht, waren:

· een notatiesysteem voor wortels van de tweede en hogere macht: , enz.,

· een exponentiële schrijfwijze voor machten van x, waarbij .5. staat voor 5x en .10.³ voor 10x³, en ook negatieve exponenten en nul voorkomen: voor 7x^-2, en .4.⁰ voor de constante term 4.

· Verder gebruikte hij voor de vermenigvuldiging en deling van machten van twee met/op elkaar de regel - volgens onze schrijfwijze - x^m.xⁿ = x^m⁺ⁿ en x^m:xⁿ = x^m—n. Hij verving namelijk de getallen 2, 4, 8, 16, ...., 1024, ........ 1 048 576 door de logaritmen met grondtal 2 en telde deze op of trok ze van elkaar af.

· Een andere primeur was het eerste zelfstandig gebruikte negatief getal in Europa[4] in de vergelijking: .4.¹ egaulx a m.2.⁰ (dwz 4x = —2).

Het eerste gedrukte algebra leerboek, in het Italiaans, was "Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita" van Luca Pacioli in 1494. Het bevat rekenkunde, algebra, zeer elementaire euclidische meetkunde en dubbel boekhouden. Pacioli wordt wel beschouwd als de 'vader van het dubbel boekhouden'.

In Duitsland verschenen in 1524, 1525 en 1527 algebra leerboeken in het Duits van respectievelijk Adam Riese, Christoph Rudolph en Peter Apian

Vooral de rekenboeken van Adam Riese verschenen in grote oplagen. Deze maakten zo'n opgang, dat er een nieuwe uitdrukking ontstond : 'nach Adam Riese' voor 'uiterst nauwkeurig'. (Op dezelfde manier werd de naam van de Nederlandse rekenmeester Bartjens spreekwoordelijk voor geleerde autoriteit: 'volgens Bartjens'.)

De Duitse pater, later lutheraans hagenpreker en tenslotte professor in de wiskunde, Michael Stifel schreef "Arithmetica integra". Dit werk was inderdaad een integrale behandeling van de algebra, zoals die tot 1544 bekend was en hij voerde het plus- en minteken in voor optelling en aftrekking. Ook vervolmaakte hij de theorie van de vierkantsvergelijkingen van al-Chwârizmî door met gebruikmaking van negatieve coëfficiënten diens zes soorten kwadratische vergelijkingen terug te brengen tot één ! Hij kende de eigenschappen van negatieve getallen goed, maar noemde hen toch "numeri absurdi (= afwijkende)". Dat negatieve getallen nog niet dezelfde status bereikt hadden als positieve blijkt wel uit het feit, dat deze nog niet herkend of toegelaten werden als wortels van een vergelijking.

Sinds de dood van bisschop Bradwardine had de wiskunde in Engeland gekwijnd. De zestiende eeuw bracht weer een belangrijk wiskundige voort: Robert Recorde, arts en wiskundige te Oxford en Cambridge. Hij schreef een zeer populair (meer dan 24 drukken) leerboek met commerciële toepassingen "Grounde of Artes", dat voor het eerst in 1541 verscheen. In 1557 volgde "The Whetstone of Witte". Daarin gebruikte hij een horizontale dubbele streep als teken voor 'is gelijk aan', de voorloper van het teken = .

Recorde hield zich ook bezig met sterrenkunde en meetkunde. In "Castle of Knowledge" roemde hij het copernicaanse systeem. "Pathewaie to Knowledge" was het eerste leerboek voor meetkunde in het Engels.

B De doorbraak in de algebra

vermelde personen in 2.B:		Pacioli, Luca	1445-1517
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Scipione dal Ferro	1465-1526
Heron van Alexandrië	27668	Tartaglia, Niccolò	1500-1557
Leonardo van Pisa	1170-1250	Cardano, Girolamo	1501-1576
Willem van Moerbeke	1215-1286	Ferrari, Lodovico	1522-1565
Nemorarius, Jordanus	1225-1260	Bombelli, Raphael	1526-1572

1) Tartaglia bedrogen door Cardano

Ondanks de grote verbreiding van algebraïsche kennis en de vooruitgang van de rekenkunde waren er nog geen beslissende stappen gezet naar nieuwe wiskundige theorieën. De Griekse en Arabische klassieken waren niet werkelijk overtroffen. Toch had men het gevoel, dat het in de wiskunde - net als in de natuurwetenschappen - mogelijk moest zijn door onderzoek tot nieuwe ontdekkingen te komen. Luca Pacioli had dat gevoel in negatieve zin uitgedrukt door aan het eind van zijn standaardwerk op te merken, dat de oplossing van de vergelijkingen x³ + px = q en x³ + q = px (p,q > 0) bij de huidige stand van de wetenschap even onmogelijk was als de kwadratuur van de cirkel. In de wetenschapscentra was men in ieder geval naarstig op zoek naar die oplossing. Fibonacci had aangetoond, dat die niet kon bestaan uit een rationaal getal of een getal van de vorm a+Öb. Verder was de methode van Heron bekend, waarmee men de wortel kon benaderen.

In Bologna deed het gerucht de ronde, dat er een oplossing voor de derdegraads vergelijking gevonden was, maar de ontdekker, professor Scipione dal Ferro (geb.1465), stierf in 1526 zonder die te publiceren. Wel zou hij zijn ontdekking aan zijn opvolger, Annibale della Nave, en aan een van zijn studenten, Antonio Maria Fior, hebben onthuld. Deze hielden het voor zich, misschien omdat zij er hun voordeel mee hoopten te doen bij de wiskundewedstrijden, die regelmatig georganiseerd werden. Daarbij moest de verliezer een gastmaal aanrichten voor de winnaar en zijn vrienden.

Althans in 1535 duikt Fior op in een wiskundewedstrijd als tegenspeler van een zekere Niccolò Fontana.

Niccoló was als kind bij de verovering van Brescia door de Fransen dodelijk gewond geraakt, had het gehaald, maar was voor de rest van zijn leven misvormd en spraakgebrekkig. Daarom werd hij 'Tartaglia' (stotteraar) genoemd. Met grote wilskracht leerde hij zichzelf wiskunde en voorzag in zijn onderhoud als wiskundeschrijver en reizend leraar in Italië. Tartaglia was op een of andere manier ook op de hoogte van een methode om bepaalde derdegraads vergelijkingen op te lossen.

In de wedstrijd gaf Tartaglia aan Fior dertig vergelijkingen op van het type x³ + mx² = q, terwijl Fior aan Tartaglia dertig vergelijkingen van het type x³ + px = q opgaf. Tartaglia, Niccolò loste ze alle op, Fior geen een. Beiden kenden een methode om x³ + px = q op te lossen. Tartaglia wist echter, hoe hij vergelijkingen van het type x³ + mx² = q moest veranderen in een van het oplosbare soort.

Bij de strijd tussen de twee rekenmeesters was er een lachende derde: Girolamo Cardano, geneesheer en wiskundeprofessor in Milaan. Deze lokte Tartaglia naar Milaan met de suggestie, dat hij hem daar wel vast werk kon bezorgen. Tartaglia was van plan een algebraboek te schrijven met daarin zijn oplossing van derdegraads vergelijkingen, maar Cardano smeekte Tartaglia om hem nu vast die oplossing te geven en beloofde, dat hij het aan niemand zou vertellen. Tartaglia gaf toe en Cardano publiceerde de oplossing in zijn "Artis magnae sive de regulis algebraicis" van 1545. Weliswaar vermeldde hij daarin, dat hij de oplossing had van Tartaglia, maar die hoefde zijn algebraboek niet meer te schrijven. Overigens was Tartaglia als broodschrijver evenmin brandschoon. Hij publiceerde een van Moerbeke 'gestolen' vertaling van Archimedes en gaf in een ander boek de wet van het hellend vlak (ontbinding van de zwaartekracht langs en loodrecht op het vlak) zonder te vermelden, dat hij deze gevonden had bij Nemorarius, een Duitse dominicaan uit de dertiende eeuw.

Cardano had een ongelukkig familieleven. Hij was een ongewenst kind van zeer arme ouders en ziekelijk. Zijn oudste zoon vergiftigde zijn eigen vrouw en werd daarvoor onthoofd; de jongste was een schurk, wie Cardano in een vlaag van woede de oren van het hoofd sneed. Zelf was hij een gokker en valsspeler, achterdochtig en hartstochtelijk. In de zeventiende eeuw verscheen een nagelaten boek van hem over kansspelen: "Liber de ludo aleae".

Hij verwierf zich internationale roem als geneesheer en astroloog. De bisschop van St. Andrews, Schotland, liet hem overkomen voor een consult en zo kwam hij ook bij de Engelse koning. De paus behoorde tot zijn klantenkring.

Cardano trok ook de horoscoop van Jezus Christus zelf, een blasfemie, die hem zijn baan als professor in Bologna kostte. Niettemin kreeg hij aan het einde van zijn leven een pensioen van de paus en schreef zijn memoires "De vita propria".

2) De oplossing van de derdegraads vergelijking

Na wegtransformeren van de kwadratische term kwam Cardano tot de volgende drie gevallen: x³ + px = q, x³ = px + q en x³ + q = px met positieve p en q.

Omdat de middeleeuwse wiskundige geometrisch dacht, kon hij geen betekenis toekennen aan negatieve coëfficiënten. Ons algemene geval x³ + px + q = 0 valt ook uiteen in vier gevallen: p>0, q<0; p<0, q<0, p<0, q>0 en p>0, q>0, waarvan de eerste drie met de respectieve gevallen van Cardano overeenkomen. Het geval p>0, q>0 kan ook geschreven worden als (—x)³ + p(—x) = q en heeft dus als wortels de tegengestelden van x³ + px = q.

x³ + px = q

x³ + 6x = 20 heet bij hem: "De kubieke (term) plus zes maal de zijde is gelijk aan 20". Hij gebruikt geen letters voor de onbekende of om bv. een bepaalde coëfficiënt aan te duiden. Ook ontbreekt elke formule. Daardoor is zijn betoog voor hedendaagse wiskundigen moeilijk leesbaar.

Laten wij ter vereenvoudiging van zijn oplossing wel letters toe, dan gaat het zo: Laat x het verschil van u ('een lengte') en v ('de breedte') zijn (x = u—v), zo dat uv ('de oppervlakte') gelijk is aan ¹/₃ van de coëfficiënt van 6 ('de zijde'), dus uv = ¹/₃.6 = 2.

We krijgen dan (u—v)³ + 6(u—v) = 20, waaruit na enig rekenwerk, vanwege uv = 2, volgt: u³—v³ = 20.

Substitueer hierin v = ²/_u en vermenigvuldig met u³, dan volgt hieruit u⁶ = 20u³ + 8. De laatste is een kwadratische vergelijking in u³ met als positieve wortel 10 + √108. (De negatieve wortel geeft geen andere eindoplossing.)

Nu is v³ = u³—20 = —10 + √108. Substitueer u = ³√(10 + √108) en
v = ³√(—10 + √108) in x = u—v en je hebt een wortel van de vergelijking.

Volg je deze methode voor het algemene geval x³ + px = q, dan krijg je als uitkomst: [5].

Hierin vervult de uitdrukking de rol van 'discriminant', D. Voor p, q > 0 is deze positief. Verder is , dus x₀ is positief.

Voor ons is de formule een onmisbare geheugensteun, de mens uit de zestiende eeuw moest zich het verhaal van de afleiding herinneren.

x³ = px + q

Cardano vond een methode die neerkomt op de formule

x₀ = met D = (^q/₂)² — (^p/₃)³ [6]

Dat leverde hem een uitkomst voor (^q/₂)² > (^p/₃)³. Dat er hier in het geval (^q/₂)² < (^p/₃)³drie (reële) wortels zijn ontsnapte aan zijn inzicht.

De wortels uit een negatief getal vermeldde Cardano wel, bijv. bij invullen van p = 15 en q = 4, maar hij noemde die 'nutteloos' en het geval was een 'casus irreducibilis' (onherleidbaar geval). Cardano kende wel de oplossing x₀ = 4, maar hoe hij daaraan moest komen, wist hij niet. [7]

(Door te rekenen met complexe getallen krijgen we als oplossing: x₀ = = 2 + i + 2 — i = 4.

Als in bovenstaande formule de derdemachts wortels als complexe wortels worden opgevat, zitten daarin ook opgesloten de oplossingen

Deze twee oplossingen —2 ± √3 waren hem niet bekend, want negatief. Grafische oplossingen en complexe getallen, laat staan de hoofdstelling van de algebra, waren immers nog niet gevonden.)

x³ + q = px

De formule is x = ³√(—^q/₂+√D) + ³√(—^q/₂ —√D). Deze heeft voor D > 0 één negatieve oplossing, die door de zestiende-eeuwer niet werd erkend.

3) De oplossing van de vierdegraads vergelijking

Cardano publiceerde in zijn boek ook de oplossingsmethode van de vierdegraads vergelijking. Deze had hij vernomen van zijn pupil Lodovico Ferrari, die ooit als huisbediende bij hem was begonnen, en 'die hem op zijn verzoek uitvond'.

De werkwijze wordt uitgelegd aan de hand van de vergelijking

x⁴ + 4x³ — 41x² — 144x + 180 = 0

Als er een term in x³ in voorkomt, wordt deze geëlimineerd door substitutie van x — ¼.<coëfficiënt van x³>. Daardoor wordt een nieuwe vergelijking verkregen, waarvan de oplossingen gemiddeld nul zijn. [8]

Substitutie van x ® x — 1 geeft x⁴ — 47x² — 54x + 280 = 0.

Breng —54x + 280 over naar het rechterlid en vul dan beide leden aan tot een kwadraat, links van een lineaire vorm in x² en rechts van een lineaire vorm in x: x⁴ — 47x² + …… = 54x — 280 + …… . Daartoe stellen we x⁴ — (47—y)x² + ¼(47—y)² = yx² + 54x — 280 + ¼(47—y)², want dat kan vereenvoudigd worden tot x² — 23½ + ½y = ±Öy.(x + ²⁷/_y).

Het linkerlid is altijd een kwadraat. Maak van het rechterlid het kwadraat y(x + ²⁷/_y)² door de discriminant nul te stellen:

D = 2916 — 4y{—280 + ¼(47—y)²} = 2916 — 1089y + 94y² — y³ = 0

De vergelijking y³ — 94y² + 1089y — 2916 = 0 heet 'derdegraads oplosser'. Verwijder de term in y² door de substitutie y ®

y—¹/₃.<coëff. van y²> = y + ⁹⁴/₃. Dit geeft 27y³ — 50121y — 818606 = 0.

Los deze vergelijking op: y₁ = —⁶⁷/₃, y₂ = —⁸²/₃, y₃ = ¹⁴⁹/₃.

Ga terug naar de vorige y-variabele: y₁ = 9, y₂ = 4, y₃ = 81 en substitueer elke oplossing apart in x² — 23½ + ½y = ±Öy.(x + ²⁷/_y) :

x² ± 3x — 19 ± 9 = 0	x² — 3x — 28 = 0	x = 7, x = —4	precies vier wortels:
	x² + 3x — 10 =0	x = —5, x = 2	x = 7 x = 2 x = —4 x = —5	oorspronkelijk
x²± 2x — 21½ ± 13½ = 0	x² — 2x — 35 = 0	x = 7, x = —5		x = 6 x = 1 x = —5 x = —6
	x² + 2x — 8 = 0	x = —4, x = 2
x² ± 9x + 17 ± 3 = 0	x²— 9x + 14 = 0	x = 7, x = 2
	x² + 9x + 20 = 0	x = —5, x = —4

4) De gevolgen van "Artis magnae"

De school van Samarkand (zie Ea, 6.C3) beschikte al meer dan honderd jaar over een methode voor het benaderen van de wortels van de vergelijking x³ + q = px, namelijk toepassing van het algoritme x_n+1 = (q + x_n³)/p. Deze methode gaf snel resultaat en was van praktisch nut voor het opstellen van astronomische tafels.

De methode van Tartaglia had weinig praktisch nut, maar was van grote theoretische betekenis. Zij riep aanstonds twee vragen op:

Waren vergelijkingen van hogere graad dan de vierde exact oplosbaar?

Was het mogelijk enige betekenis toe te kennen aan de wortels uit negatieve getallen?

De eerste vraag hield de wiskundigen van de eerstkomende eeuwen bezig, maar geen van hen slaagde er in tot een oplossing te komen.

De Italiaanse wiskundige Raphael Bombelli kreeg een vermoeden over mogelijke complexe oplossingen van algebraïsche vergelijkingen, namelijk, dat de symmetrie van de uitdrukkingen 2 + en
2— onder het derdemachts wortelteken in de formule van Tartaglia (zie B2) tot een soortgelijke symmetrie moest leiden tussen de derdemachts wortels zelf. Dat gold immers ook voor de gevonden reële oplossing van x³ = 15x + 4. Stelde je gelijk aan respectievelijk 2 + b en 2 — b, dan kreeg je de bekende oplossing

x = 2 + b + 2 — b = 4.

Maar substitutie van 2 + b in x³ = 2 + leidt tot de vergelijking 8 — 6b² + i(12b — b³) = 2 + 11i. En daaruit volgt alleen b = ±1. [9]

C Meetkunde in de sterrenkunde, aardrijkskunde en schilderkunst

vermelde personen in 2.C:		Dürer, Albrecht	1471-1528
Aristoteles	384-322 v. Chr.	Copernicus, Nicolas	1473-1543
Ptolemaeus, Claudius	85-165	Mercator, Gerard	1512-1594
al-Tusi, Nasir al-Din	1201-1274	Rhaeticus, Joachim	1514-1574
Alberti, Leone	1404-1472	Viète, François	1540-1603
Müller, Johann	1436-1476	Desargues, Girard	1591-1661
Leonardo da Vinci	1452-1519	Lambert, Johann	1728-1777

1) Copernicus

Aristarchus was in 260 vóór Christus er van beschuldigd "de rust van de goden te verstoren", omdat hij opperde, dat de aarde om de zon draaide. Zijn gedachte wordt niet aanvaard (zie Ea, 4.C2).

Bijna 1800 jaar later komt Copernicus (Pools: Kopernik, 1473-1543) op grond van nauwkeurige astronomische tabellen tot de slotsom, dat de banen die de planeten beschrijven het beste verklaard kunnen worden als het resultaat van een beweging van aarde en planeten om de zon. Weliswaar heeft hij voor het kloppend maken van zijn systeem zo'n vijftig cirkels en hulpcirkels nodig, maar de overeenstemming met de waarnemingen is even goed als Ptolemaeus bereikte met zijn veertig cirkels en hulpcirkels.

Behalve Ptolemaeus' stelsel vond ook Aristoteles' theorie nog gehoor. Diens theorie bood een volledige fysische verklaring, maar was ingewikkeld en minder geschikt voor voorspellingen, zeevaart en tijdrekening.

Door de nieuwe uitgave van de Almagest door Regiomontanus in 1515 stond Ptolemaeus' systeem volop in de belangstelling. Copernicus' voornaamste bezwaar ertegen was de veronderstelling, dat er zoiets onstoffelijks als een 'gelijkmaker' bestond (zie Ea, 5.A3).

Copernicus had wijsbegeerte, wiskunde en sterrenkunde gestudeerd in Kraków. Polen was toen een groot koninkrijk onder de Jagiellonen en beleefde zijn 'Gouden Eeuw'. De universiteit van Kraków was al in 1364 gesticht; in 1405 werd hier de eerste Europese leerstoel voor wiskunde en sterrenkunde gesticht.

Copernicus zette zijn studie voort met rechten, medicijnen en sterrenkunde aan verschillende universiteiten in Italië. In 1510 werd hij benoemd tot 'domheer' van de streek Warmië in Polen en beheerde als zodanig de kerkelijke landgoederen. Van 1515 tot 1521 werkte hij in Olsztyn aan "De revolutionibus orbium coelestium" (Over de omwentelingen van de hemellichamen). Copernicus begreep dat publicatie daarvan tot grote moeilijkheden met zijn superieuren zou kunnen leiden. Vanaf 1539 kreeg hij assistentie bij zijn astronomische studie van de Pruisische wiskundige Rhaeticus. Deze kende het werk van Regiomontanus en moet daardoor Copernicus van groot nut zijn geweest.

Copernicus was een knap trigonometrist. Hij bewees onder andere een uitbreiding van de stelling van Nasir al-Din al-Tusi (zie Ea, 6.D1): Als een cirkel zonder te slippen met zijn omtrek aan de binnenkant van een andere cirkel met een twee maal zo grote doorsnede rolt, dan beschrijft elk vast punt binnen de omtrek van de kleinere cirkel een ellips.

Vlak voor zijn dood in 1543 publiceerde Copernicus zijn boek.

Na Copernicus' dood gaf Rhaeticus (Georg von Lauchen) de van de Arabieren afkomstige trigonometrie een moderner aanzien. Hij definieerde sinus en cosinus als lengten van rechthoekszijden bij een schuine zijde van één lengte-eenheid (10⁷) en stelde op overeenkomstige wijze tabellen op voor tangens, cosecans, secans en cotangens voor alle hoeken tussen 0° en 90° met een stapgrootte van 10". Ook François Viète en Pitiscus construeerden goniometrische tabellen. Het woord 'trigonometrie' is afkomstig van Pitiscus.

2) Cartografie

Nieuwe werelden werden ontdekt, zowel buiten als op de aarde.

Voor de navigatie over de oceanen waren nieuwe kaarten met betere projecties noodzakelijk. Maar hoe moest je een aardbol projecteren op een platte kaart?

De manier waarop kaartentekenaars dit probleem vanouds hadden opgelost was de stereografische projectie.

Figuur 4: stereografische projectie

Daarbij worden de punten op de bol op een raakvlak (hier aan de Noordpool N) geprojecteerd vanuit een punt C op de bol diametraal tegenover dat raakvlak (zie figuur 4).

Een kleine driehoek op aarde zal dus als een daarmee gelijkvormige driehoek worden afgebeeld (de driehoek moet zo klein zijn dat de zijden als rechte lijnstukjes kunnen worden beschouwd). Daarmee zal elk stukje van de kaart een vrijwel gelijkvormige afbeelding van het corresponderende stukje terrein vormen, hoewel de schaal over de gehele kaart varieert. De eigenschap van conformiteit houdt in dat in elk punt de vergroting in alle richtingen gelijk is; een cirkeltje wordt als cirkeltje afgebeeld.

Maar de zeevarenden hadden behoefte aan meer: aan kaarten, waarop je een vaste koers kon uitzetten. Dat betekende, dat een vaarlijn die een vaste hoek maakt met de richting naar het noorden (poolster), op de kaart een rechte lijn zou worden, die op de kaart dezelfde hoek met de noordrichting maakt. Zowel meridianen als breedtecirkels zijn zulke vaarlijnen; de eerste maakt een hoek van 0°, de tweede van 90° met de richting naar het noorden. Dit moesten dus rechte lijnen worden, die elkaar bovendien loodrecht snijden.

Dit betekent, dat de afstand tussen - zeg - 20° en 30° oosterlengte, gemeten langs een breedtecirkel op breedte 70°, op de kaart even groot is als de afstand gemeten langs de evenaar. In werkelijkheid is de afstand langs de breedtecirkel op breedte 70° gelijk aan cos(70°) maal die langs de evenaar. Er heeft dus een 'uitrekking' met een factor ¹/_cos(70_°₎ in oost-westelijke richting plaats gevonden. Wordt er nu op zo'n kaart een koers uitgezet met een hoek van bijv. 40° met de richting noord, dan zal de werkelijk gevaren hoek groter dan 40° zijn.

Gerard Kremer, Zuid-Nederlands wiskundige en geograaf, beter bekend onder zijn Latijnse naam Mercator, bedacht een oplossing door de afstanden op zijn kaart even sterk in de noord-zuidrichting uit te rekken als langs de horizontaal getekende breedtecirkel het geval was. Daartoe telde hij alle horizontale uitrekkingsfactoren voor de afstand van een punt op bijv. 70° breedte tot de evenaar bij elkaar op. Behoud van hoeken vereist uitrekking van een afstandje ∆a op j° breedte in noord-zuidelijke richting tot ^∆a/_cos_j_°. Optelling geeft .

De eerste kaart die op dit nieuwe principe was gebaseerd, publiceerde hij in 1569.
Dertig jaar later bewees Edward Wright, dat de totale uitrekkingsfactor tot een punt op breedte j°gelijk is aan ln(tan(½.j+45°).[10]

De moderne cartografie is gegrondvest door de Duits-Zwitserse wetenschapper Johann Heinrich Lambert. Hij beschreef een aantal projectiemethoden die equivalent (vormgetrouw, d.w.z. met behoud van oppervlakte), afstandsgetrouw of hoekgetrouw (conform) zijn. Twee van de drie tegelijk is niet mogelijk. Eén van zijn theorieën was de basis voor vele deelkaarten van de wereld, de Lambertprojectie. Er kwam een groot aantal verbeteringen maar vele kaarten over de hele wereld zijn gebaseerd op de projectie van Lambert.

3) Perspectief

De grote Florentijnse architect Brunelleschi is waarschijnlijk de eerste geweest, die de regels van de perspectief vond.

Zijn landgenoot Leone Baptista Alberti, architect, musicus, beeldhouwer en schilder, formuleerde omstreeks 1435 regels, waaraan schilders zich moesten houden bij het 'correct' weergeven van figuren op een vlakke vloer. Alberti adviseerde hun om in moeilijke gevallen een raster te gebruiken van horizontale en verticale draden, die over een houten raam gespannen waren, zodat er een doorzichtig netwerk van vierkanten ontstaat. Voor de renaissanceschilders is het schilderij een venster, waardoor de blik de ruimte onderzoekt en dat een loodrechte doorsnede is van de kegel van 'kijkstralen', die van het oog uitgaan. Voor Leonardo da Vinci is schilderen als het ware een wetenschappelijk onderzoek van de ruimte. Hij gebruikte de perspectief al zeer goed in zijn schilderij "Het laatste avondmaal" (ca. 1496).

Figuur 6: 'Het laatste avondmaal' (1495-1497, Leonardo da Vinci)

Een volgende stap werd gezet door Piero della Francesca in "De prospectiva pingendi" (1478). Hierin behandelt hij het probleem, hoe driedimensionale voorwerpen, gezien van een gegeven standpunt, in het schildervlak weergegeven moeten worden.

Albrecht Dürer kwam naar Italië om kennis te nemen van de nieuwe wetenschap van de perspectief. Hij schreef in 1525 het boek "Studie van de schilderkunst". Hierin wordt veel aandacht besteed aan het tekenen van gebogen lijnen. Hij demonstreert in een van zijn schilderijen ook, hoe afbeeldingen in de kijkrichting sterk verkort zijn ten opzichte van de werkelijkheid. Hij schrijft een meetkundige studie "Onderzoek naar de constructie met behulp van cirkels en rechte lijnen van vlakke en ruimtelijke figuren". Dit is een opvallende empirische studie met zowel exacte als benaderende resultaten. Toch blijkt, dat schilders als Dürer en Leonardo da Vinci ondanks hun studie van wiskunde nog onvoldoende bekend waren met de wetten van de perspectief.

Het zal nog meer dan een eeuw duren, voordat de Franse architect Desargues de 'projectieve meetkunde' ontwikkelt en zo de geheimen van de perspectief ontsluiert.

3. Sprong naar de moderne algebra

A Viète

vermelde personen in 3.A:		Chuquet, Nicolas	1445-1488
Euclides	325-265 v. Chr.	Stifel, Michael	1487-1567
Ptolemaeus, Claudius	85-165	Ceulen, Ludolph van	1540-1610
Pappos van Alexandrië	290-350	Viète, François	1540-1603
al-Tusi, Sjaraf al-Din	1135-1213	Brahe, Tycho	1546-1601
Nemorarius, Jordanus	1225-1260	Stevin, Simon	1548-1620
al-Kasji	1390-1450	Roomen, Adriaen van	1561-1615
Müller, Johann	1436-1476	Girard, Albert	1595-1632

1) Viètes leven en betekenis

Tussen 1560 en 1570 woedde in Frankrijk een burgeroorlog, waarbij aan de ene kant het hof, conservatieve kringen en de katholieke kerk stonden en aan de andere kant de protestante Hugenoten en belangrijke edellieden. De meest prominente leiders waren Hendrik de Guise aan de katholieke kant en admiraal De Coligny aan de protestante.

François Viète was, net als zijn vader, advocaat geworden. Maar op 24-jarige leeftijd trad hij in dienst bij het huis Soubise, een voorvechter van de protestante zaak. Een van zijn taken was het onderwijs aan dochter Catherine. Toen het hoofd van de familie in 1567 stierf, werd Viète secretaris van diens weduwe en week met het gezin uit naar de Hugenoten vrijstad La Rochelle.

Tussen 1568 en 1572 wonnen de protestanten aan politieke invloed. In 1571 werd Viète lid van het Bretonse parlement en steeg tot de functie van geheim raadsman van koning Hendrik III. In 1572 werden De Coligny en meer dan 10 000 Hugenoten vermoord in de 'Bartholomeusnacht'. Vier jaar later kwam er een verzoening tot stand, maar in 1584 sloot de 'Katholieke Liga' onder leiding van Hendrik de Guise een verbond met Spanje om gezamenlijk de strijd aan te binden met de protestante Hendrik van Navarra, die troonpretendent was geworden. Hendrik III bezweek onder druk van de liga en alle sympathisanten van de Hugenoten aan het hof moesten verdwijnen, inclusief Viète.

Tussen 1584 en 1589 schreef Viète zijn beste werk. Dit leidde in 1591 tot de publicatie van "In artem analyticam isagoge" (Inleiding tot de Analyse) in tien delen, opgedragen aan zijn voormalige pupil Catherine. Na de troonsbestijging van Hendrik (van Navarra) IV in 1589 trad hij weer in koninklijke dienst.

De politicus François Viète besteedde slechts zijn vrije tijd aan wiskunde. Des te opmerkelijker zijn zijn grote bijdragen aan de ontwikkeling van rekenkunde, algebra en trigonometrie.

Als Viète in 1603 sterft, is de overgang naar de moderne wiskunde voltooid.

2) Bijdragen aan rekenkunde en algebra

Op het gebied van de rekenkunde bepleitte Viète al in 1579 de vervanging van zestigtallige breuken door decimale breuken. Zo schrijft hij de halve omtrek van een cirkel met straal 100 000 als

Zes jaar later publiceert Simon Stevin "De Thiende", waarin hij de noemer weglaat en het gedeelte achter de komma praktisch onderdeel wordt van het positiesysteem.

In de algebra voerde Viète een belangrijke verbetering van de notatie in. Hij gebruikte klinkers om onbekende grootheden in een vergelijking mee aan te geven en medeklinkers voor bekende grootheden/getallen.

In de meetkunde stond de figuur van een driehoek ABC symbool voor alle mogelijke driehoeken en Euclides geeft rekenkundige stellingen, waarbij getallen voorgesteld worden door lijnstukken, die met letters aangeduid worden, maar vergelijkingen in algebra leerboeken hadden nog steeds gegeven getallen als coëfficiënten. Omstreeks 1200 had Jordanus Nemorarius (Giordano van Nemi) een 'Arithmetica' geschreven, die veel gebruikt werd aan de Parijse universiteit. Daarin maakte hij gebruik van lettercombinaties voor getallen bij het formuleren en afleiden van rekenkundige regels. Hoofdletters worden sinds 1544 als tekens voor de onbekende(n) gebruikt door wiskundigen als Stifel en Borrel.

Viète volgt hen daarin, maar door het gebruik van medeklinkers voor coëfficiënten maakt hij het mogelijk uitdrukkingen en vergelijkingen in hun meest algemene vorm te bestuderen, gevolgd door uitwerking van onderscheiden gevallen voor de coëfficiënten. Hij noemt deze aanpak "logistica speciosa". Het woord 'coëfficiënt' is ook van hem afkomstig.

Viète was zich er van bewust, dat het stellen van een vergelijking iets bijzonders is. Als we de vergelijking x² — 3x + 2 = 0 willen oplossen, dan veronderstellen we, dat er een x is, die hieraan voldoet. Nadat we daaruit hebben afgeleid, dat dan noodzakelijk (x—2)(x—1) = 0 is en dus x = 2 of x = 1, moeten we nagaan of 1 en 2 tot het toegestane domein behoort en dus een oplossing is (indien er wortels 'ingevoerd' kunnen zijn, ook nog invullen). Het redeneren vanuit een veronderstelling heette sinds Pappos' tijd 'analyse'. Viète geeft de voorkeur aan deze term boven 'algebra'.

3) Prostaferese

Viète en zijn tijdgenoten waren bekend met Ptolemaeus' methode voor het berekenen van de koorde van het verschil van twee bogen (aftrekformule, zie Ea, 5.A3) en met de optelformule

sin(A+B) = sin(A).cos(B) + cos(A).sin(B).

Daaruit volgt eenvoudig 2.sin(A).cos(B) = sin(A+B) + sin(A—B).

(De Egyptenaar Ibn-Yunus - zie Ea, 7.C2 - kende overigens rond het jaar 1000 al de formule voor 2.cos(A).cos(B).)

Figuur 7: Viètes afleiding van
sin x + sin y = 2sin(½.x+½.y).cos(½.x—½.y)

Zij ontwikkelden daaruit de som- en verschilformules:

sin x + sin y = 2.sin(½.x+½.y).cos(½.x—½.y)

sin x — sin y = 2.cos(½.x+½.y).sin(½.x—½.y)

cos x + cos y = 2.cos(½.x+½.y).cos(½.x—½.y)

cos x — cos y = —2.cos(½.x+½.y).cos(½.x—½.y)

De formule 2.cos(A).cos(B) = cos(A+B) + cos(A—B) werd aan het einde van de zestiende eeuw veel gebruikt door sterrenkundigen. Zij moesten omvangrijke berekeningen maken voor de plaatsbepaling van hemellichamen. Met deze formule (prosthaphaerese genaamd) kon snel het product van grote getallen opgezocht worden.

Voorbeeld: 98 436 × 79 253.

Schrijf dit als 2 × 0,49218 × 0,79253 × 10¹⁰.

Zoek 0,49218 en 0,79253 op in cosinustafels.

Je vindt: A = 60°30'58", B = 37°34'39".

Pas de formule toe: 2.0,49218.0,79253 = cos(A+B) + cos(A—B) =

cos(98°5'37") + cos(22°56'19") = 0,78013.

Dus 98 436 × 79 253 = 78 013 10⁵.

Het observatorium van de Deense sterrenkundige Tycho Brahe maakte voortdurend gebruik van deze methode. Maar toen was Napier in Schotland al op het idee gekomen om 'logaritmen' in te voeren.

4) Ontwikkeling van de vlakke driehoeksmeting

Regiomontanus ("De Triangulis omnimodis") en zijn leerling Johann Werner ("De Triangulis Sphaericis") hadden de erfenis van Grieken en Arabieren met betrekking tot de boldriehoeksmeting voor Europa geopend. Daartoe hoorden de pooldriehoek, de cosinusregel voor de zijden van een boldriehoek en de sinusregel voor bol- en vlakke driehoeksmeting.

De aandacht voor boldriehoeksmeting vloeide voort uit de beoefening van de sterrenkunde. Landmeting werd weliswaar in de Alexandrijnse tijd beoefend, maar leidde niet tot ontwikkeling van de vlakke driehoeksmeting. Toch waren ten tijde van Viète de sinus- en de cosinusregel voor het vlak bekend.

De sinusregel diende voor het berekenen van alle zes elementen van een driehoek, als daarvan twee hoeken en één zijde bekend waren of twee zijden en de hoek tegenover één van deze.

Het geval van twee zijden en de ingesloten hoek werd opgelost met behulp van de cosinusregel. Omdat hierin echter de som van twee kwadraten voorkwam, leende deze formule zich niet voor nauwkeurige berekening met prostaferese of logaritmen (zie A3). Daarvoor kwam nu de tangensregel goed van pas, die ontwikkeld werd vanuit de somformules[11] voor de sinus. Immers voor S = ½A+½B en V = ½A—½B geldt

Anderzijds volgt uit = k, dat .

Dus = tan(½(A—B)).tan(½C), zodat

tan(½(A—B)) =

Als a en b en C bekend zijn, kan A — B berekend worden. Daaruit volgen weer A = S + V en B = S — V.

Viète ontwikkelde de cosinusregel voor de hoeken van een scherpe boldriehoek:

cos(a) = cos(b).cos(c) + sin(b).sin(c).cos(A)

In "Canon Mathematicus" (1579) gaf hij een compleet overzicht van de formules, waarmee je alle zes elementen van een boldriehoek kunt uitrekenen, zodra drie ervan gegeven zijn.

De zes cosinusregels voor boldriehoeken zijn, net als de cosinusregel voor de euclidische driehoek, niet erg geschikt voor nauwkeurige berekening. Viète geeft daarom in zijn boek de 'regel van Napier'. Deze speelt in de boldriehoeksmeting dezelfde rol als de tangensregel in de vlakke driehoeksmeting en vertoont qua vorm enige overeenkomst.

5) Viète en de derdegraads vergelijking

Door toepassing van de optelformules (zie A3) en de formules voor de dubbele hoek, cos(2j) = cos²j — sin²j, sin(2j) = 2 sinj.cosj leidde Viète af, dat

(reeds bekend aan al-Kasji, zie Ea, 6.D2).

Substitutie van sin²j = 1 — cos²j geeft cos(3j) = 4 cos²j — 3 cosj.

Deze gelijkheid toont het verband aan tussen cosj als oplossing van een derdegraads vergelijking en de driedeling van hoek j. Dit verband - zo besefte Viète - is meetkundig en algebraïsch:

1. Constructies die de oplossing van een derdegraads vergelijking vereisen (bijv. van een regelmatige zevenhoek) zijn alleen mogelijk met behulp van een 'trisectrix'.

2. Derdegraads vergelijkingen kunnen opgelost worden met behulp van goniometrische tabellen.

Voor de oplossing van Cardano's 'casus irreducibilis' (x³ = px + q met

(^q/₂)² < (^p/₃)³, zie 2.B2) ging Viète als volgt te werk:

Voer een constante n in (waarvan de waarde later bepaald wordt) en stel x = n.cosj: (n.cosj)³ = pn.cosj + q. Hieruit volgt de vergelijking cos³j = ^p/_n².cosj + ^q/_n³. Herleid cos(3j) = 4.cos³j — 3.cosj tot cos³j = ³/₄.cosj + ¹/₄.cos(3j).

Kies nu n zo, dat de vergelijking overgaat in de identiteit. Daarvoor moet ^p/_n² = ³/₄ en ^q/_n³ = ¹/₄.cos(3j), dus n = en

cos(3j) = ^4q/_n³ = .

Omdat (^q/₂)² < (^p/₃)³, is er een j te vinden, die daaraan voldoet.

Daaruit volgt x₁ = n.cosj, x₂ = n.cos(j+120°) en x₃ = n.cos(j+240°).

Voor de oplossing van de gevallen x³ + px = q en x³ = px + q met positieve discriminant is de substitutie x = n.cosj niet geschikt.

Voor de oplossing van vergelijkingen van hogere graad ontwikkelde hij een benaderingsmethode, die lijkt op die van Sjaraf al-Din al-Tusi (ca. 1175).

Viète maakte ook enige voortgang in de ontdekking van het verband tussen coëfficiënten van derdegraads vergelijkingen van de gedaante x³ + q = px en de bijbehorende wortels x₁, x₂ en x₃. Hij bleef echter op het ouderwetse standpunt staan, dat alleen positieve wortels meetellen. Ook hield hij vast aan de meetkundige betekenis van zijn vergelijkingen door deze homogeen te houden en meetkundige termen (plano = oppervlakte; solido = ruimtelijk lichaam; in = vermenigvuldigd met; aequator = is gelijk aan) te gebruiken. Zo luidde de vergelijking

3BA² — DA + A³ = Z bij hem

B3 in A quad — D plano in A + A cubo aequator Z solido

Met het gebruik van 'quad' en 'cubo' voor tweede en derde macht bleef hij achter bij Chuquet honderd jaar eerder.

De Franse Nederlander Albert Girard kwam een stuk verder. Deze publiceerde in "l'Invention nouvelle en l'Algèbre" (Amsterdam, 1629) de algemene betrekkingen voor het geval

	m = x₁ + x₂ + x₃
x³ + q = mx² + px:	p = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃
	q = —x₁x₂x₃

Hij kon hier alleen toe komen door negatieve coëfficiënten en wortels gelijkwaardig te behandelen met positieve. Girard rechtvaardigt dit vanuit de meetkunde: "Het negatieve geeft een teruggang aan, terwijl het positieve een vooruitgang is." [12]

6) Hoekveelvoudformules

Door het werk van Viète ontstond wat men tegenwoordig goniometrie noemt: de bestudering van functionele relaties tussen hoeken. Viète was bijzonder goed in 'hoekveelvoudformules'.

Op ingenieuze wijze wist hij ook een formule af te leiden voor cos(nj) en sin(nj) als n-degraads veelterm in cosj en sinj. In moderne notatie:

[13]

Verder bedacht hij, dat in de betrekking sinj = 2.sin(^j/₂).cos(^j/₂) de factor sin(^j/₂) geschreven kan worden als 2.sin(^j/₄).cos(^j/₄) en daarin weer sin(^j/₄) als 2.sin(^j/₈).cos(^j/₈), enz. Dit levert uiteindelijk op

De toename van de factor 2ⁿ in het rechterlid voor grotere n wordt te niet gedaan door de factor , die naar nul nadert. We zien dat duidelijk door beide delen door j te delen en dan de limiet voor n → ∞ te nemen:

In het bijzonder is , dus met - volgens de cosinusformule van de halve hoek - .

Zo bereikte Viète een nauwkeurigheid van tien decimalen.

Spoedig werd hij op precisie 'verslagen' door Ludolph van Ceulen uit Leiden. Deze begon met een veelhoek van vijftien zijden en verdubbelde het aantal zijden 37 keer. Uiteindelijk bereikte hij een benadering met 35 plaatsen achter de komma. Sindsdien noemt men p ook de 'constante van Ludolph'.

7) De uitdaging

In 1580 hadden zeven Nederlandse provincies zich aaneengesloten in een verbond tegen de koning van Spanje, Philips II. De Franse koning, die ook in oorlog was met Spanje, stond op goede voet met de Nederlandse ambassadeur. Deze bracht tijdens een bezoek aan Hendrik IV in 1593 het probleem ter sprake dat de Zuid-Nederlandse wiskundige Adriaen van Roomen aan zijn tijdgenoten had voorgelegd: Wie kan de vergelijking

oplossen voor verschillende waarden van A ?

Dit was de uitdrukking voor 2.sin(22½.j) (= A, de lengte van een koorde op een middelpuntshoek van 45° in de eenheidscirkel) als functie van 2.sin(½.j) (= x, de lengte van een koorde op een hoek j) ofwel de sinusformule voor de één-vijfenveertigste hoek. [14]

Voor bepaalde waarden van A was de oplossing bekend. Door herhaalde toepassing van 2.sin(½.j) = vindt men

voor A = —√2: x = (substitueer j=30º),

voor A = √(2—√2): x = (substitueer j=15º),

voor A = √{2—√(2+√2)}: x = (substitueer j=7½º), enz.

Maar het ging Van Roomen natuurlijk vooral om de oplossing voor A = 2.sin(45°) = √2, dus j=2 º. Die zou een uitdrukking voor sin(1º) opleveren en daarmee een exacte uitdrukking voor de sinus van alle hoeken van een geheel aantal graden.

De diplomaat beweerde, dat geen wiskundige in Frankrijk in staat was dit probleem op te lossen. De koning liet dat niet op zich zitten en ontbood Viète bij zich. Deze was - zo zegt men - in staat binnen enkele minuten twee oplossingen te geven en later nog 21 andere. Welke A daarbij gold, wordt niet vermeld.

Viète vermoedde, dat de formule iets te maken had met de oplossing van sin(45º) = A, waarbij hij sin(45º) uitschreef volgens de door hem ontwikkelde formule

De ontwikkeling van machten van 1—x² ging echter zijn rekenvermogen te boven. Toen kwam hij op het idee de ontwikkeling van sin(45º) naar sin(1º) in drie stappen te doen: twee maal volgens de formule

sin(3j) = 3.cos²j.sinj — sin³j,

waardoor sin(45º) in sin(5º) uitgedrukt kan worden, en één maal volgens

sin(5j) = 5.cos⁴j.sinj — 10.cos²j.sin³j + sin⁵j.

Toen Viète eenmaal aangetoond had, dat op deze manier de gegeven vergelijking ontstond[15], was hij ook in staat uit één oplossing bij zekere A alle oplossingen te geven. Stel immers, dat x = 2.sin(½.j₀) een oplossing is met 2.sin(22½.j₀) = A, dan zijn ook de koorden op de hoeken j₀ + n.16º modulo 360º met n = 1 t/m 22 positieve oplossingen, want 2.sin{22½(j₀+ n.16º)} = 2.sin(22½.j₀+ n.360º) = 2.sin(22½.j₀).

Zo vind je bij A = 2.sin(337½º) = naast

x = 2.sin(^337½/₄₅º) = 2.sin(7½º) = ook de oplossingen

x = 2.sin(15½º), 2.sin(23½º), 2.sin(31½º) enz.

De vraag van Van Roomen: geef exacte oplossingen voor willekeurige A kon ook Viète natuurlijk niet beantwoorden.

Ook op andere wijze was Viète zijn koning van dienst, namelijk door het geheimschrift te ontcijferen, dat de Spanjaarden in hun oorlog met Frankrijk gebruikten. Toen koning Philips II hier achter kwam, geloofde hij niet, dat dit met gewone middelen mogelijk was. Daarom deed hij zijn beklag bij de paus, dat de Fransen toverij tegen hem gebruikten "in strijd met de praktijk van het christelijk geloof".

B Praktische methoden

vermelde personen in 3.B:		Napier, John	1550-1617
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Bürgi, Joost	1552-1632
Alberti, Leone	1404-1472	Valerio, Luca	1552-1618
Chuquet, Nicolas	1445-1488	Briggs, Henry	1561-1630
Leonardo da Vinci	1452-1519	Galilei, Galileo	1564-1642
Tartaglia, Niccolò	1500-1557	Kepler, Johann	1571-1630
Brahe, Tycho	1546-1601	Guldin, Paul	1577-1643
Stevin, Simon	1548-1620	Decker, Ezechiel de	1626-1626

1) Machines

Kooplieden en vorsten begonnen in de late Middeleeuwen met het stichten van kleine bedrijven, openbare werken en mijnbouw. Enige mate van mechanisering vond plaats in de zijde-industrie, bij de productie van vuurwapens en in de mijnbouw. Technische kennis was vereist voor het graven van kanalen, de bouw van oceaanwaardige schepen en van windmolens. Klokken deden hun intrede op openbare plaatsen en brachten het idee van het meten en de regelmaat van het heelal.

In boeken van o.a. Leone Alberti, Da Vinci en Fontana kwamen constructietekeningen en beschouwingen over mechanica voor. Simon Stevin, Luca Valerio en Paul Guldin maakten (de laatsten resp. in 1604 en 1641) berekeningen van zwaartepunten. Met name in de astronomie won in de tweede helft van de zestiende eeuw het experiment en de waarneming veld. Daarvoor waren meer en moeilijker berekeningen nodig.

2) Logaritmen

De Schotse baron van Murchiston, John Napier, was een rijk en ontwikkeld man. Hij schreef boeken over allerlei onderwerpen, o.a. "Boek der Openbaringen", waarin hij stelde, dat de paus van Rome de antichrist was.

Sinds 1594 werd hij geïntrigeerd door de regel voor vermenigvuldiging van machten a^x.a^y = a^x+y. Wiskundigen als Chuquet (zie 2.A3) hadden al eerder opgemerkt, dat deze benut kan worden voor het omzetten van een vermenigvuldiging in een optelling, maar zelfs voor a = 2 liggen de getallen die als gehele machten van a geschreven kunnen worden ver uit elkaar.

Hoe dichter het grondtal bij 1 ligt, des te dichter liggen ook de machten bij elkaar. Als je bijv. 1,001 neemt, krijg je voor 1,001ⁿ, afgerond op drie cijfers achter de komma, achtereenvolgens 1,001, 1,002, 1,003, 1,004, 1,005, enz. Pas bij n=32 worden de verschillen tussen opeenvolgende machten groter dan 0,001.

Napier had via een vriend, dokter John Craig, kennis gemaakt met het gebruik van prostaferese door Tycho Brahe[16]. Dit zette hem aan om verder te gaan met zijn onderzoekingen en in 1614 verscheen "Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Beschrijving van de wonderbaarlijke logaritmenregel).[17]

Napier nam daarin 0,9999999 als grondtal. Daardoor nemen zijn machten af, als n toeneemt. Omdat het doorgaans om de vermenigvuldiging van grote getallen ging en machten van 0,9999999 tussen 0 en 1 liggen, deelde hij het getal dat hij wilde vermenigvuldigen eerst door 10 000 000. Dus Log(10⁷)= log(1) = 0, Log(9 999 999) = ^0,9999999log(0,9999999¹) = 1, Log(9 999 998) = ^0,9999999log(0,9999999²) = 2 enz. In het algemeen: Log(N) = L betekent N= 0,9999999^L.10⁷.

Vermenigvuldiging van N₁ en N₂ vereist nu deling van beide getallen door 10⁷ en vermenigvuldiging van met 10⁷.

Om zijn systeem toe te lichten gebruikte de baron het beeld van twee wandelaars A en B. A loopt met constante snelheid over een weg van onbeperkte lengte, B loopt met afnemende snelheid over een 10⁷ (lengte-eenheden, bijv. meters) lange weg en wel zo, dat als A op een afstand y van zijn punt van vertrek is gekomen, B nog x = 0,999999^y.10⁷ meter van zijn eindpunt is verwijderd. Dit betekent, dat als A een afstand van 1 m heeft afgelegd, B nog 0,9999999.10⁷ = 9 999 999 m van zijn eindpunt verwijderd is, dus ook 1 m heeft afgelegd. Beiden beginnen dus met dezelfde snelheid. Bij elke meter die A daarna vooruitgaat, wordt B's afstand tot het eindpunt vermenigvuldigd met 0,9999999.[18]Het nemen van de logaritme van x is dus de plaatsbepaling y van A, als B nog x meter van zijn eindpunt is verwijderd.

De publicatie in 1614 leidde onmiddellijk tot erkenning. Henry Briggs, professor in Oxford, zocht Napier op en besprak met hem mogelijke wijzigingen in zijn methode van logaritmen. Briggs stelde 10 als grondtal voor en Napier stemde daarmee in. Zelf had hij echter niet meer de energie om hun ideeën in praktijk te brengen. Napier overleed in 1617.

In datzelfde jaar publiceerde Briggs de logaritmen van 1 tot 1000, in veertien decimalen nauwkeurig, in 1624 gevolgd door logaritmen tot 20 000 en van 90 000 tot 100 000. Drie jaar later publiceerde de Nederlandse landmeetkundige Ezechiel de Decker in Gouda een complete logaritmentafel van 1 tot 1 000 000 ("Eerste deel der nieuwe telkonst", "Tweede deel der nieuwe telkonst"). De methode van vermenigvuldiging met Briggse logaritmen sloeg overal in Europa snel aan, vooral vanwege haar praktische nut.

3) Praktische bewijsvoering

Mensen als de natuurkundige Stevin, sterrenkundige Johann Kepler en natuur- en wiskundige Galileo Galilei bevrijdden zich geleidelijk van de strenge bewijsvoeringen van Archimedes met betrekking tot het oneindig kleine. Oneindige reeksen worden ontwikkeld voor de benadering van oppervlakten of inhouden van kromme figuren met behulp van in- of omgeschreven rechtlijnige figuren. Daarbij wordt volstaan met de opmerking, dat het verschil in oppervlakte of inhoud willekeurig klein gemaakt kan worden. Het argument van dubbele tegenspraak wordt achterwege gelaten.

Soms wordt een volume verdeeld in willekeurig veel doorsneden, waarna over de doorsnede gesproken wordt als over een oppervlakte, enz.

Stevin verdeelt in zijn "Statica" (1586) een driehoek in een 'oneindig aantal' parallellogrammen, waarvan twee zijden evenwijdig lopen aan de basis en twee andere aan de zwaartelijn, om aan te tonen, dat het zwaartepunt op de zwaartelijn ligt.

Uit de verhouding b:a van de korte en lange as van de ellips met vergelijking x²/a² + y²/b² = 1 leidde Kepler in 1609 af, dat vermenigvuldiging van de y-coördinaat met ^a/_b een cirkel geeft, waarvan de oppervlakte een factor ^a/_b groter is dan de oppervlakte van de ellips. Dus de ellips heeft oppervlakte pa² : ^a/_b = pab.

Na 1612, een zeer goed wijnjaar, maakte Kepler een studie van de inhoud van wijnvaten en methodes om de inhoud van omwentelingslichamen te berekenen. Archimedes had enkele inhouden berekend, Galilei ging verder, bijv. door een cirkel te draaien om een koorde. Zo ontstaan lichamen, die lijken op een citroen of een appel. Door deze in oneindig veel dunne plakjes te snijden en de inhoud van die plakjes op te tellen berekende hij de totale inhoud. De resultaten zijn te vinden in "Stereometria doliorum" (1615).

Kepler is ook handig in het ontwerpen van numerieke benaderingen. Zo is de 'tonregel' van hem: . Deze benadering is honderd procent nauwkeurig, als f(x) een rationale functie van de derde graad of lager is.

Ingenieur Kepler hield zich ook bezig met de vraag op welke manier een vracht kanonskogels het meest dicht op elkaar kon worden gepakt.

In 1611 kwam hij tot de slotsom, dat de meest compacte manier om bollen van dezelfde grootte te stapelen, een piramide is. Deze stelling heet sindsdien 'het vermoeden van Kepler'. Pas in 1998 werd dit vermoeden door Thomas Hales met de hulp van computers bewezen.

4. Baanbrekers van de zeventiende eeuw

A Nieuwe methoden en een nieuw wereldbeeld

vermelde personen in 4.A:
Aristoteles	384-322 v. Chr.	Bacon, Francis	1561-1626
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Galilei, Galileo	1564-1642
Ptolemaeus, Claudius	85-165	Lippershey, Hans	1570-1619
Nemorarius, Jordanus	1225-1260	Kepler, Johann	1571-1630
Buridan, Jean	1295-1358	Snel van Royen	1580-1626
Oresme van Lisieux	1323-1382	Girard, Albert	1595-1632
Uccello, Paolo	1397-1475	Descartes, René	1596-1650
Copernicus, Nicolas	1473-1543	Cavalieri, Bonaventura	1598-1647
Jamnitzer, Wentzel	1508-1585	Roberval, Gilles de	1602-1675
Brahe, Tycho	1546-1601	Torricelli, Evangelista	1608-1647
Bruno, Giordano	1548-1600	Pascal, Blaise	1623-1662
Stevin, Simon	1548-1620	Huygens, Christiaan	1629-1695
Hariot, Thomas	1560-1621	Wren, Christopher	1632-1723

1) Francis Bacon: kennis is macht

De zoon van de grootzegelbewaarder van Engeland was een eerzuchtig man. Helaas erfde zijn oudste broer het hele vermogen van zijn vader en zag hij zich als lid van een voorname familie gedwongen tot een voortdurende strijd om het bestaan. Het tij keerde, toen hij zich, veertig jaar oud, opwierp als advocaat tegen zijn vriend, graaf Essex, en vóór Elizabeth I. Dit verraad legde hem geen windeieren.

In 1605 publiceerde Bacon een verhandeling "Advancement of Learning" (Bevordering van Kennis).

Onder Jacobus I bracht hij het ook tot grootzegelbewaarder. In die tijd ontwikkelde hij een filosofische visie, dat de mens zich zou moeten bevrijden van vooroordelen en van door autoriteiten of een verkeerde pedagogiek opgelegde kennis. Hij had hoge verwachtingen van de wetenschap, mits daarbij alle speculatie achterwege gelaten werd en men alleen door noest experimenteren aan de natuur haar geheimen zou ontfutselen. Door kennis van de wetten van de natuur zou men haar kunnen beheersen. Bacon wilde de mensen gelukkig maken door hun te leren die macht te krijgen. Dit vereist een geestelijk reinigingsproces. Zijn "Novum organum" uit 1620 was een manifest voor de empirische methode.

Zelf deed hij uiteenlopend wetenschappelijk onderzoek.

Een corruptieschandaal bracht hem, zestig jaar oud, in de gevangenis, maar de koning liet hem na twee dagen weer vrij. Nu zijn politieke carrière beëindigd was, kon hij zich met verdubbelde ijver op wetenschap en literatuur toeleggen.

In "Het nieuwe Atlantis" beschrijft Bacon de utopie van een samenleving, waarin de wetenschap alle faciliteiten heeft voor de verwerving van nuttige kennis. Deze kennis zou, zo voorzag Bacon, het menselijk bestaan verrijken met uitvindingen en goederen en het gemak en welzijn dienen.

Bacons invloed is vooral te danken aan de krachtige manier waarop hij zijn ideeën onder woorden bracht. Hij was een profeet, wiens vermaningen al tijdens zijn leven vrucht begonnen af te werpen.

2) De oude mechanica

De Griekse filosoof Aristoteles had een theorie over bewegingen ontworpen, die moeilijk in overeenstemming was te brengen met de feiten. Zo was een van zijn fundamentele wetten, dat snelheid gelijk is aan kracht gedeeld door weerstand.

Archimedes is de natuurgeleerde die de wetten van het evenwicht ontdekte. Behalve over de ligging van het zwaartepunt en hefbomen schreef hij ook een boek over hydrostatica: evenwicht van vloeistoffen en het drijven van lichamen (zie Ea, 4.B1).

Nemorarius (zie 2.B1) liet zien, dat meerdere krachten tegelijk konden werken en dat een kracht in componenten ontbonden kon worden. Jean Buridan, leraar aan een Parijse school en collega van Nicole Oresme (zie 1.B3), stelde, dat de bewegingskracht van een projectiel onafhankelijk was van de omringende lucht. Het zou haar uniforme snelheid behouden, als er geen remmende krachten waren. Bij vallende lichamen nam de bewegingshoeveelheid geleidelijk toe door de zwaartekracht. Zo vond hij het begrip 'impuls' uit.

In de dertiende eeuw kwamen de kruisboog en de handboog in gebruik, een eeuw later gevolgd door het kanon. Stevin, Galilei en anderen maakten verdere studies van de kogelbaan.

3) Galileo Galilei

Zoals Francis Bacon getypeerd kan worden als 'vader van het empirisme', zo kan men Galileo Galilei zien als 'vader van de moderne natuurwetenschap'. Terwijl de Griekse filosofen hadden gevraagd naar het 'wezen' van de dingen, vroeg Galilei naar het 'hoe'. Om de natuurverschijnselen te beschrijven moest men de taal van de wiskunde kennen. De natuur handelt volgens volmaakte en onveranderlijke wiskundige wetten. De Goddelijke rede heeft deze in de natuur gelegd.

Galilei aanvaardde het atomisme volgens Democritus. Alle natuurkundige en scheikundige verschijnselen waren een gevolg van het feit dat atomen onvernietigbaar en ondoordringbaar zijn. Vorm, omvang en beweging waren de 'primaire' eigenschappen van lichamen. Eigenschappen die samenhingen met reuk, smaak, tastzin en gehoor waren secundair en niet wiskundig te beschrijven.

Net als de wiskunde, moest de natuurwetenschap uitgaan van eerste beginselen en daaruit zoveel mogelijk wetten afleiden. Wat die eerste beginselen waren - zo besliste Galilei - moest voortkomen uit ervaring en proefneming.

Zo had hij vastgesteld, dat voorwerpen van dezelfde stof met dezelfde versnelling vallen. Ook bleek uit Galilei's proeven, dat de snelheden waarmee verschillende voorwerpen vallen in lucht minder van elkaar verschillen dan in water. "Toen ik dat had opgemerkt, kwam ik tot de conclusie, dat in een tussenstof die helemaal geen weerstand biedt, alle lichamen met gelijke snelheid vallen".

Verder onderzoek leidde tot de bevinding, dat elke slinger een constante slingertijd heeft, die niet afhangt van de uitwijking.

Behalve van zijn ervaring maakt Galilei hier gebruik van abstractie van zaken als weerstand en wrijving, die de zaak maar compliceren. Zo'n gedachte-experiment is eigenlijk precies, wat ook wiskundigen doen, die een figuur tekenen, maar aan lijnen geen kleur, dikte en dergelijke toekennen. Deze combinatie van abstractie en experiment bleek uiterst vruchtbaar voor het ontdekken van eerste beginselen.

Dit was in tegenstelling tot de Grieken, die vertrouwden op de kracht van de menselijke geest alléén voor het bedenken van de beginselen. Zo was het logisch, dat 'rust' een natuurlijker toestand was dan 'beweging' en dat er kracht nodig was om een lichaam in beweging te houden. Zij vonden het niet nodig hun beweringen te toetsen met behulp van experimenten.

Galilei begreep, dat zijn methode ook tot verkeerde beginselen kon leiden. Daarom stelde hij voor, dat de wetten die uit de beginselen afgeleid konden worden, ook weer getoetst zouden worden.

Een beginsel dat Galilei op grond van 'ervaring' aannam was, dat het heelal eindig is. Daarom moest hij uitgaan van de eenparige cirkelbeweging als de 'natuurlijke' beweging die een lichaam probeert te volgen, als er geen uitwendige krachten op werken. Hij was niet in staat deze gevolgtrekking afdoende te toetsen.

4) De zon in het centrum

Vlak voor zijn dood in 1543 verschijnt Copernicus' boek "Over de omwentelingen van de hemellichamen". Hierin plaatst hij de zon in het centrum van het heelal.

De filosoof Giordano Bruno gaat een stap verder door het zonnestelsel voor te stellen als een van de vele sterrenstelsels en het heelal als oneindig te beschouwen. Copernicus' boek komt op de Index te staan, Bruno wordt gearresteerd en als ketter in Rome levend verbrand.

Wetenschappers voeren argumenten aan tegen Copernicus' systeem. De Deense sterrenkundige Tycho Brahe probeert een compromis te vinden tussen het oude en het nieuwe stelsel. Hij wordt benoemd tot hofwiskundige van de koning van Bohemen (tevens Duits keizer Rudolf II). Daar wordt Kepler in 1600 zijn assistent. Deze sterrenkundige uit Württemberg had al een bewogen leven achter de rug.

Geboren als zoon van een barkeeper en dronkelap, moest hij al vroeg van de lagere school af om bij het werk te helpen. Door een aanval van pokken verliest hij het normale gebruik van zijn handen en ogen. Niettemin slaagt hij er op zeventienjarige leeftijd in toegelaten te worden tot de universiteit van Tübingen. Johann wil dominee worden. Van professor Möstlin krijgt hij daar privéles in de theorie van Copernicus. Zijn meerderen in het ambt twijfelen aan zijn vroomheid en stellen hem voor om professor in de wiskunde en ethiek te worden in Graz, Oostenrijk. Daar bekwaamt hij zich verder in astrologie en astronomie. Wanneer Graz in katholieke handen valt, moet hij als protestant de wijk nemen.

5) De geheimvolle meetkunde van het heelal

Kepler zocht een antwoord op de vraag, waarom er precies zes planeten waren. (In zijn dagen waren alleen Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter en Saturnus bekend.) Hij vond een antwoord daarop en publiceerde dat in 1596 in "Mysterium Cosmographicum" (vrij vertaald: Het geheim van het heelal):

De baan van de Aarde is de maat van alle dingen. Omschrijf een regelmatig twaalfvlak erom heen en de cirkel waar die in past is de baan van Mars. Omschrijf rond Mars' baan een regelmatig viervlak en de cirkel waar die in past is de baan van Jupiter. Omschrijf daar een regelmatig twaalfvlak om heen en de cirkel waar die in past is de baan van Mars. Omschrijf daar een kubus omheen en de cirkel waar die in past is de baan van Saturnus. Schrijf in Aardes baan een regelmatig twintigvlak en de cirkel die daarin past is de baan van Venus.

Schrijf in Venus' baan een regelmatig achtvlak en de cirkel die daarin past is de baan van Mercurius. Ziedaar de reden voor het aantal planeten.

Na Brahes dood in 1601 volgde Kepler hem op. Hij fungeert ook als hofastroloog. Ondanks allerlei moeilijkheden (slechte betaling, zijn moeder wordt van toverij beschuldigd) zet hij de waarnemingen van Tycho Brahe voort.

In 1609 ("Astronomia Nova") geeft Kepler zijn eerste twee astronomische wetten:

1) De planeten draaien in elliptische banen om de zon met de zon in het brandpunt.

2) De voerstraal van zon naar planeet doorloopt gelijke oppervlakken in gelijke tijden.

Nu is het zo, dat de aarde op het noordelijk halfrond juist in de zomer (wanneer de poolas aan de noordkant over een hoek van 23° naar de zon overhelt, vergeleken met de verticaal op het baanvlak van de aarde) vijf miljoen kilometer verder van de zon staat dan op 21 december, bij een gemiddelde afstand van 150 miljoen. Een direct gevolg daarvan is, dat de zomer daar langer duurt dan de winter, want om op grotere afstand een gelijk oppervlak te doorlopen moet de hoeksnelheid in de zomer lager zijn dan in de winter.

In 1619 verschijnt Keplers "Harmonice Mundi" (Over de harmonie in de kosmos). Hierin berekent Kepler de afstanden van de planeten en hun omwentelingsnelheid. Tenslotte stelt hij zijn derde wet:

3) Voor alle planeten is de grootheid T²/a³ constant; hierin is T de omwentelingstijd om de zon en a de halve lange as van de ellips.

Het verschil tussen Keplers systeem en dat van Ptolemaeus is groter dan tussen Copernicus en Ptolemaeus: de 50 cirkels maken plaats voor zes ellipsen en de planeten worden in hun banen niet meer 'gedragen'.

De nieuwe theorie is een bedreiging voor het gesloten en hiërarchische wereldbeeld, waarin alles zijn 'natuurlijke plaats' heeft. Maar Kepler is er van overtuigd, dat God de voorkeur geeft aan een wiskundig eenvoudige theorie. Dat zal ook de leidende gedachte van de zeventiende eeuw worden: druk alles uit in harmonische wiskundige wetten.

Galilei doet rond 1600 waarnemingen aan de maan met een zelf vervaardigd slijpglas en vindt in de schijngestalten een bevestiging van de draaiing van de aarde om de zon. Als hij hoort, dat een Nederlandse brillenmaker, Hans Lippershey, met behulp van twee lenzen een soort 'verrekijker' heeft gemaakt, vindt hij in 1609 een verbeterde telescoop uit. Daarmee ontdekt hij onder andere de schijngestalten van Venus en vier 'manen', die om de planeet Jupiter cirkelen. Nu is voor het eerst aangetoond, dat niet alle hemellichamen om de aarde draaien. Het resultaat van zijn waarnemingen verslaat hij in een literair meesterwerkje: "Siderius Nuncius" (1610, Boodschapper van de sterren).

Hij doet ook valproeven vanaf de toren van Pisa, zijn geboortestad, in de hoop aan te kunnen tonen, dat door de draaiing van de aarde de valrichting niet helemaal verticaal is. De invloed van de draaiing is echter te klein om aan te tonen.

In zijn werk "Dialogo dei massimi sistemi" (1632, "Dialoog over de twee wereldsystemen") voert hij drie personages ten tonele: Salviati, Sagredo en Simplicio, die respectievelijk een wetenschapper, een intelligente leek en een domme aristoteliaan voorstellen. Het is duidelijk, dat Galilei het heliocentrisme openlijk steunt. Het jaar daarop moet hij, 69 jaar oud, voor de inquisitie verschijnen en wordt gedwongen zijn these te herroepen, onder bedreiging van marteling. Hij leeft nog negen jaar in ballingschap. In die tijd schrijft hij "Discorsi intorni à due nuove scienze" (Uiteenzettingen over twee nieuwe wetenschappen). Dit manuscript wordt in het geheim naar Holland overgebracht en daar in 1638 gepubliceerd.

In de natuurwetten ziet Galilei een openbaring van God, die "niet minder wonderbaar is dan de heilige woorden van de Schrift".

In 1994 wordt de ban tegen Galileo Galilei door de katholieke kerk herroepen.

6) De harmonie van de veelvlakken

Keplers "Harmonice Mundi" behandelt ook de vijf regelmatige en de dertien halfregelmatige veelvlakken. De laatste waren al bekend als archimedische lichamen[19], maar de boeken waarin Archimedes ze beschreef waren verloren gegaan. Kepler geeft er namen aan en berekent formules voor oppervlakte, inhoud enz. Zulke namen zijn bv. cuboctaëder (begrensd door zes vierkanten en acht gelijkzijdige driehoeken) en icosidodecaëder (begrensd door twintig driehoeken en twaalf vijfhoeken).

Elf van hen kunnen gemaakt worden door afknotting van platonische lichamen, de twaalfde en dertiende zijn de 'stompe kubus' met hoekconfiguratie 3⁴.4 [20] en het 'stompe dodecaeder' (dodecaeder = regelmatig twaalfvlak) met hoekconfiguratie 3⁴.5.

De platonische en archimedische lichamen zijn alle convexe lichamen, d.w.z. dat als je twee hoekpunten verbindt door een rechte lijn, deze in zijn geheel binnen het lichaam valt. Zij behoren tot de grotere groep van de uniforme veelvlakken: veelvlakken met dezelfde hoekpunten (congruente veelvlakshoeken) en regelmatige veelhoeken als zijvlakken. Deze kunnen ook stervormig zijn.

Kepler ontdekte en beschreef in "Harmonices Mundi" ook twee regelmatige stervormige veelvlakken: de grote en de kleine sterdodecaeder.[21]

De grote sterdodecaeder bestaat – uitwendig gezien - uit twaalf pentagrammen (de diagonalen van een regelmatige vijfhoek), die elkaar drie aan drie in een van de twintig hoekpunten snijden.[22] Je kunt de grote sterdodecaeder ook construeren door op elk zijvlak van een icosaeder een driezijdige piramide te plaatsen waarvan een opstaande ribbe een lengte heeft van ½Ö5 + ½ maal die van een ribbe van het icosaeder.

De kleine sterdodecaeder bestaat eveneens uit twaalf pentagrammen.

Je kunt hem construeren door een regelmatig twaalfvlak te nemen en van elk vijfhoekig zijvlak de zijden te verlengen tot een pentagram. De hoekpunten van de pentagrammen komen vijf aan vijf samen boven het middelpunt van een van de twaalf zijvlakken. Zo ontstaat op ieder zijvlak van het dodecaeder een vijfzijdige piramide waarvan een opstaande ribbe een lengte heeft van ½Ö5 + ½ maal die van een ribbe van het twaalfvlak. Er zijn twaalf hoekpunten. De punten waar pentagrammen elkaar in een inspringende hoek snijden gelden, net als bij de grote sterdodecaeder, niet als hoekpunt.

Hoewel Kepler vanwege zijn publicatie als de ontdekker geldt, waren deze sterveelvlakken al bekend. De grote sterdodecaeder komt in 1568 voor als kunstontwerp in het boek "Perspectiva Corporum Regularium" van goudsmid Wentzel Jamnitzer en de kleine sterdodecaeder is te zien in een vijftiende-eeuws mozaïek van Paolo Uccello, op de vloer van de San-Marcokathedraal in Venetië.

7) Thomas Hariot

Deze veelzijdige wetenschapper was de eerste telescopenbouwer in Engeland. Hij begon zijn carrière als wetenschappelijk adviseur van Sir Walter Raleigh. Voor hem leidde hij zeelieden op en ontwierp schepen. Als zodanig hield hij zich ook bezig met cartografie.

In 1601, twintig jaar vóór de opstelling van de brekingswet door de Nederlander Snel van Royen, was hij er al mee bekend, maar hij publiceerde zijn ontdekking niet.

Tussen 1610 en 1612 deed Hariot (of Harriot) waarnemingen aan de door Galilei ontdekte manen van Jupiter. In dezelfde periode bestudeerde hij zonnevlekken en berekende daaruit de draaisnelheid van de zon. Als wiskundige schreef hij een boek over het oplossen van algebraïsche vergelijkingen, waarin hij aantoonde, dat een n-degraads op nul herleide vergelijking altijd geschreven kan worden als het product van n lineaire vergelijkingen.

Een van Hariots nagelaten manuscripten over sterrenkunde, uit 1603, bevat de stelling van het hoekoverschot van een boldriehoek:

De som van de (tweevlaks)hoeken van een boldriehoek min p is gelijk aan de ruimtehoek (in steradianen) die het oppervlak van die driehoek onderspant. Zijn bewijs verloopt als volgt.

Voor de vorming van een boldriehoek ABC zijn drie grote cirkels nodig. Deze verdelen het oppervlak van de bol in acht boldriehoeken: ABC, A'BC, AB'C, ABC', A'B'C, A'BC', AB'C' en A'B'C' (zie figuur 8). Beschouw A en A' als polen, dan zijn ACA' en ABA' meridianen die het oppervlak van de bol (4pr²) verdelen in verhouding van hun 'geografische' lengteverschil, dat is ÐA, d.w.z. het kleinste[23] oppervlak tussen ACA' en ABA' heeft de grootte ^A/₂_p.4pr² = 2Ar². Evenzo is het kleinste oppervlak tussen BCB' en BAB' gelijk aan Br² en het kleinste oppervlak tussen CAC' en CBC' is 2Cr². Deze drie oppervlakken overlappen elkaar twee maal in driehoek ABC.

Kijken we nu naar het niet-gearceerde gedeelte van de bol, dan is dat precies het tegen-oppervlak (gepuntspiegeld in O) en dus gelijk aan dat van het gearceerde oppervlak. Omdat ze samen het oppervlak van de bol vormen plus vier maal het oppervlak van driehoek ABC, krijgen we

2(2Ar² + 2Br² + 2Cr²) = 4pr² + 4DABC → DABC = (A + B + C — p)r².

Deze formule wordt de formule van Girard genoemd, want deze wiskundige noteerde haar in 1626.

8) Oude krommen met nieuwe toepassingen

Kepler behandelde de kegelsneden vanuit het gezichtspunt van continuïteit. Hij merkte op, dat de doorsnede met een vlak, dat door de top van de kegel gaat twee snijlijnen geeft, waarvan de brandpunten samenvallen. Schuiven we het vlak naar buiten de top, dan krijgen we een hyperbool. Bij draaiing van het snijvlak ontstaan oneindig veel hyperbolen, waarvan één brandpunt zich steeds verder verwijdert van het andere. Bij de parabool ligt één brandpunt in het oneindige. Draaien we door, dan keert het brandpunt uit het oneindige terug en ontstaan ellipsen, die - op het moment dat de brandpunten weer samenvallen - overgaan in een cirkel.

Terwijl Kepler in de sterrenkunde een toepassing vond van de ellips, vond Galilei een natuurkundige toepassing van de parabool. In "Discorsi intorni à due nuove scienze" gebruikte hij diagrammen van het type dat Oresme bijna drie eeuwen daarvoor al uitgevonden had (zie figuren 2 en 3) voor uniform versnelde beweging. Hij organiseerde de ideeën van Oresme over dynamica en gaf ze wiskundige nauwkeurigheid. Onder andere slaagde hij er in de beweging van een projectiel te ontbinden in een horizontale en een verticale component en daaruit af te leiden, dat de baan de vorm had van een parabool.

In hetzelfde boek vestigde hij de aandacht op de cycloïde, de baan die een vast punt op de omtrek van een wiel beschrijft, wanneer dit over een horizontale weg rolt, maar hij slaagt er niet in deze wiskundig te analyseren. Zo probeerde hij ook de oppervlakte onder de kromme te vinden. Het beste dat hij wist te doen was de lijn op karton uitsnijden en het stuk karton wegen. Hij constateerde, dat deze bijna drie keer zo veel woog als het uitgesneden wiel. Ook merkte Galilei op, dat de cycloïde een aardige kromme was voor de boog van een brug.

Gedurende de rest van de zeventiende eeuw zou deze kromme door allerlei wiskundigen bestudeerd worden, waaronder (in volgorde van geboortejaar) Galilei, Descartes, Roberval, Torricelli, Pascal, Huygens en Wren.

9) De methode van de ondeelbaren

Aan het eind van de zestiende eeuw begonnen de wiskundigen zich te bevrijden van de strenge archimedische bewijsmethoden (zie 3.B3).

Cavalieri, leerling van Galilei, ontwikkelde omstreeks 1626 een nieuwe methode voor de berekening van oppervlakken en inhouden. Hij dacht daarbij aan een vlak als bestaande uit oneindig veel evenwijdige lijnen en een volume als een oneindig aantal evenwijdige vlakken. Op die manier bewijst hij, dat oppervlakken van figuren zich op dezelfde manier verhouden als hun ondeelbaren, mits die laatste verhouding constant is. Soortgelijk is de 'stelling van Cavalieri', gepubliceerd in 1635: Als twee lichamen dezelfde hoogte hebben en als doorsneden met vlakken die evenwijdig lopen met de grondvlakken en dezelfde afstand daartoe hebben, altijd een gegeven verhouding hebben, dan hebben de inhouden van de lichamen ook die verhouding.

Deze stellingen komen geheel overeen met de rekenmethode die Archimedes ruim achttien eeuwen daarvoor (zie Ea, 4.B6) gebruikte, maar die pas in de twintigste eeuw ontdekt is. Het verschil is, dat Cavalieri zijn stellingen als bewijsmethode gebruikt, terwijl Archimedes vond, dat zijn aanpak geen voldoende streng bewijs opleverde.

Met behulp van deze methode berekent Cavalieri ("Centuria di varii problemi", 1639) de oppervlakte onder de kromme y = xⁿ tussen de y-as en de lijn x = a voor n = 1 tot en met 9. In feite berekende hij dus de integraal .

Onafhankelijk van Cavalieri past de Franse wiskundige Gilles Personne de Roberval in 1634 een methode toe, die op hetzelfde principe van 'ondeelbaren' is gebaseerd, om de oppervlakte onder de cycloïde (zie A8) te berekenen.

Het 'wiel' met as door M en loodrecht op het vlak van tekening (zie figuur 10) rolt naar rechts over de weg w, totdat AB zich na een halve ronddraai in CD bevindt.

Beschouwen we nu een tussenstand (zie figuur 9): F is in een punt F' gekomen, M in M' en A in P. De straal M'F' staat loodrecht op w. De sectoren MAF en M'PF' zijn nu congruent en tevens elkaars spiegelbeeld in de middelloodlijn m van MM', dus PF ^ m.

Laat lijn PF de straal MA snijden in E en M'F' in Q. Dan is EF = PQ = r.sina. Ten opzichte van A heeft Q nu de rechthoekige coördinaten (ra, r — r.cosa). Dus beschrijft Q een sinusoïde met het punt (½.pr, r) als een symmetriepunt.

Figuur 10: Berekening van de oppervlakte onder de (halve) cycloïde volgens de Roberval: hele cycloïde = 3 x cirkel

Daaruit volgt, dat de baan van Q (de 'gezellin' van de cycloïde[24] genoemd) de rechthoek ACDB in twee gelijke helften verdeelt. Dus opp. AQDB = ½.pr.2r = pr².

De oppervlakte tussen de cycloïde en de metgezel is weer de helft daarvan: een halve cirkel. Immers ABF kan men opgebouwd denken uit lijnstukken EF en AQDP uit lijnstukken PQ. Volgens de theorie van de ondeelbaren volgt dan uit EF = PQ dat opp. AQDP = opp. ABF = ½.pr². Tenslotte is de oppervlakte onder de cycloïde nu gelijk aan opp. ACDQ + opp. AQDF = 1½.pr².

Onafhankelijk van de Roberval berekende Evangelista Torricelli de oppervlakte onder de cycloïde.

B René Descartes

vermelde personen in 4.B:		Bacon, Francis	1561-1626
Aristoteles	384-322 v. Chr.	Galilei, Galileo	1564-1642
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Kepler, Johann	1571-1630
Pappos van Alexandrië	290-350	Snel van Royen	1580-1626
al-Tusi, Nasir al-Din	1201-1274	Beeckman, Isaac	1588-1637
Freiberg, Dietrich von	1245-1310	Mersenne, Marin	1588-1648
Cardano, Girolamo	1501-1576	Descartes, René	1596-1650
Brahe, Tycho	1546-1601	Huygens, Christiaan	1629-1695
Stevin, Simon	1548-1620	Wren, Christopher	1632-1723
Hariot, Thomas	1560-1621	Euler, Leonhard	1707-1783

1) Een ambitieus denker

De Franse edelman Descartes werd geboren in La Haye in de buurt van Tours. Descartes' vader was advocaat en lid van het Bretonse parlement. Vanwege zijn zwakke gezondheid werd René pas op achtjarige leeftijd naar school gestuurd. Tot zijn zestiende werd hij daar opgevoed en getraind in de klassieken door de jezuïeten. Op die leeftijd gaf hij al blijk van een zeer kritische, sceptische instelling.

Hij vertrok naar Parijs en stortte zich daar in het studentenleven, maar spoedig verveelde hem dat en trok hij zich twee jaar terug voor studie en bezinning. In die tijd behaalde hij, zonder veel enthousiasme, zijn meesterstitel in Poitiers.

Voor zijn toekomst besloot hij de krijgskunst te leren en daarvoor nam hij, 21 jaar oud, dienst in het leger van de briljante Hollandse veldheer, prins Maurits van Nassau. In de legerplaats Breda maakte hij kennis met de Nederlander Isaac Beeckman[25] met wie hij veel discussieerde en die wel als zijn jeugdmentor wordt beschouwd. Ze ontmoeten elkaar op een plein, staande voor een bord, waar een wiskundig probleem op vermeld staat. Descartes zoekt Beeckman de volgende dag op om hem zijn oplossing voor te leggen. Pas dan ontdekt hij zijn hartstocht voor wiskunde.

Met het uitbreken van de Duitse dertigjarige oorlog in 1618 sloot René zich opeens aan bij het Beierse leger. Op een nacht had hij daar een droom, die hem overtuigde van het waardeloze leven dat hij leidde en de roeping, die hij had om filosoof te worden. Misschien ontstond toen bij hem de opvatting, dat wiskundige methoden algemeen van toepassing gebracht konden worden en zo alle wereld- en menselijke problemen opgelost. Dat hij hoge verwachtingen had van de wiskunde blijkt uit zijn uitspraak: "Toen ik er aan dacht, dat de wiskunde slechts had bijgedragen tot de vooruitgang van de mechanica, was ik verbaasd, dat op zulke strenge en stevige grondslagen geen hoger verheven bovenbouw was opgericht." De volgende negen jaar studeerde hij tussendoor wiskunde. Toch zou het nog achttien jaar duren voor hij zijn eerste boek publiceerde.

Na de slag om Praag in 1620 zei hij het leger vaarwel. Na acht jaar reizen en een hernieuwd verblijf in Parijs, waar hij de theorie van de nieuw uitgevonden optische instrumenten bestudeerde, bezweek hij nogmaals voor de aantrekking van het soldatenleven en sloot zich aan bij de hertog van Savoye voor het beleg van het protestante La Rochelle. Hij had toen luitenant-generaal kunnen worden, maar keerde terug naar Parijs. Dank zij een erfenis kon hij zich verder aan wetenschap en filosofie wijden. Daartoe vestigde hij zich in het liberale Holland. Hij bleef er twintig jaar en publiceerde in 1637 "Discours de la méthode" (voluit: Bespreking van de methode om goed te redeneren en de waarheid in de natuurwetenschappen te zoeken). Hierin presenteerde hij een radicaal gewijzigd wereldbeeld en werd daarmee 'de vader van de moderne (rationalistische) filosofie'.

Descartes werd op slag beroemd en gezocht in Europa, maar de kerk plaatste zijn boeken na zijn dood op de Index. Koningin Christina van Zweden wilde hem per se naar haar hof halen. Eerst weigerde Descartes, maar toen zij een admiraal met een schip stuurde om hem op te halen, zwichtte hij.

Descartes' eerste winter in Stockholm werd hem al noodlottig. De jonge koningin vond, dat zij elke ochtend om vijf uur privéles van haar filosoof moest hebben, in de ijskoude hofbibliotheek. Dit bleek te veel voor hem. Descartes stierf op 11 februari 1650. In 1667 werd zijn gebeente overgebracht naar de voorloper van het Panthéon in Parijs.

Huursoldaat René Descartes, zwak van gezondheid, was nooit getrouwd geweest. Hij had een dochter, wier dood op vijfjarige leeftijd hem zeer verdroot.

2) "Discours de la méthode" (Bespreking van de onderzoeksmethode)

Descartes' filosofisch scepticisme was zo groot, dat het enige waar hij niet aan twijfelde zijn eigen bestaan was: "Cogito, ergo sum." (Ik denk, dus ik besta.) Hij beschrijft, dat een ding voor zeker aangenomen kan worden, als er in de verbeelding ('imaginatio') een helder en duidelijk beeld van zijn juistheid gevormd is. Daarom plaatst hij de wiskunde ook bovenaan de wetenschappen.

Bepaalde voorstellingen zijn aangeboren, want "niets kan uit het niets ontstaan". De Godsvoorstelling kan alleen ontstaan, als deze door hemzelf is ingegeven.

Descartes bracht alle materiële eigenschappen terug tot twee: uitgebreidheid en beweging. Hij beschouwde dieren en het menselijk lichaam als een soort machine. Alleen de mens had daarenboven een ziel, waarmee hij contact kon maken met de 'levensgeesten'. God had het zo geregeld, dat de materiële en de geestelijke wereld zich onafhankelijk van elkaar, maar gecoördineerd volgens plan ontwikkelen.

Het heelal bestaat volgens hem uitsluitend uit materie in eindeloze beweging. Descartes ontwierp zelfs ("Principia Philosophiae", 1644) een ingewikkeld systeem van wervels, dat de planeten in hun gang rond de zon voortstuwde. Deze theorie kreeg veel aanhangers en werd pas in 1736 definitief weerlegd.

In zijn waardering van de wiskunde stemt hij overeen met Galilei, maar hij wantrouwt de waarneming en meent, dat de menselijke geest de eerste beginselen ontdekt. Zij hoeft slechts na te denken over een klasse van verschijnselen en daarin de fundamentele waarheden herkennen.

Hij bespreekt de verdiensten van algebra en meetkunde. De oplossingsmethoden in de meetkunde vindt hij te zeer afhankelijk van figuren, die de verbeelding onnodig vermoeien, terwijl de algebra verweten wordt niet altijd even heldere herleidingen te gebruiken.

"Discours de la méthode" bevat drie aanhangsels: "La Géométrie", "La dioptrique" (Lichtbreking) en "Les météores" (Verschijnselen aan de hemel).

Spoedig werd de 'Discours' herdrukt zonder de drie aanhangsels, want vanwege de wiskundige notaties waren deze moeilijker te drukken en te lezen ! Toch bevatten de aanhangsels belangrijke nieuwe wetenschappelijke inzichten en ontdekkingen.

"La Géométrie" is de eerste verhandeling over analytische meetkunde (term van Descartes): de synthese tussen meetkunde en onbepaalde algebraïsche vergelijkingen.

"La dioptrique" bevat de brekingswet, die Descartes waarschijnlijk via Snel van Royen (hoogleraar te Leiden, ook Snellius genoemd) of de Engelsman Harriot had vernomen, maar in een enigszins andere vorm.

In "Les météores" geeft hij het resultaat van zijn berekeningen van de straal van de regenboogcirkel. Waarom de regenboog rond was, had Aristoteles al ingezien. Ook hadden sommige onderzoekers verondersteld, dat deze gevormd werd door de gang van de lichtstralen door grote aantallen bolvormige regendruppels. Zelfs hadden de Duitser Dietrich von Freiberg en de Perzische geleerde Nasir al-Din al-Tusi beiden omstreeks 1307 al aangenomen, dat die lichtgang bestond uit breking van de zonnestraal aan het oppervlak van de druppel, inwendige weerkaatsing en weer breking bij uittreding. Maar zonder hun werk te kennen, kwam Descartes tot hetzelfde wiskundige model en sloeg aan het rekenen, onder welke hoek de meeste zonnestralen dan weer uit de druppel zouden uittreden. Het resultaat: 41½°, is nauwkeurig in overeenstemming met de waarneming.

3) "La Géométrie" (Meetkunde)

In "La Géométrie" ontwikkelt hij een nieuwe leer, waarin algebra en meetkunde op gelijkwaardige wijze zijn opgenomen, genaamd 'coördinatenmeetkunde'. De gebruikte methode is analytisch in Viètes zin (zie 3.A2), vandaar ook 'analytische meetkunde' genoemd. Meetkundige problemen worden vertaald in een algebraïsche vergelijking. Deze vereenvoudigt hij zo ver mogelijk en lost haar meetkundig op.

Neem het volgende probleem: Construeer twee lijnstukken waarvan het verschil in lengte gelijk is aan een gegeven lijnstuk en het product gelijk aan een gegeven vierkant.

Figuur 11: Descartes' constructie van ½.a +

Oplossing: Noem het langste lijnstuk x, dan is het kortste x—a en geldt x(x—a) = b², als b de zijde van het gegeven vierkant b is.

De vergelijking x² = ax + b² heeft als wortels . Deze worden nu als volgt geconstrueerd.

Teken een lijnstuk LM van lengte b (figuur 11) en richt in L een lijnstuk NL van lengte ^a/₂ op, loodrecht op LM. Construeer een cirkel met N als middelpunt en straal ^a/₂. Trek de lijn MN, die de cirkel snijdt in O en P. (Descartes beschouwt de wortel —PM als 'vals', namelijk negatief.)

Descartes gebruikt x, x², x³ enz. als machten van de onbekende, maar spreekt niet meer van 'zijde', 'vierkant' en 'kubus'. In zijn geometrische interpretatie kunnen het alle drie lijnen zijn. Hetzelfde geldt voor parameters (= letters voor bekende coëfficiënten of constanten). Zo kan hij a²b² — b, als dat zo uitkomt, interpreteren als een volume door a²b² te beschouwen als een grootheid die extra gedeeld wordt door een lijnstuk van lengte 1 en b te vermenigvuldigen met een eenheid van oppervlakte.

Zijn gebruik van symbolen is al zo, dat een hedendaags student hem zonder moeite kan lezen.

4) Meetkundige plaatsen

Behalve 'bepaalde' euclidische problemen lost Descartes ook 'onbepaalde' problemen op. Daarbij gaat het niet om het vinden van één bepaalde lengte, maar een veelheid van lijnstukken waarvan de eindpunten een geometrische figuur vormen.

Een voorbeeld is het probleem van Pappos (zie Ea, 4.D4): Gegeven is een vierhoek ABCD en vier hoeken ter grootte a, b, g, d. Vind de plaats van een punt P, zodanig dat het product van de afstanden van P tot een paar overstaande zijden, gemeten onder hoeken a° en g°, gelijk is aan k maal het product van de afstanden van P tot het andere paar overstaande zijden, gemeten onder hoeken b° en d°.

Noem de afstanden tot AB, BC, CD en DA resp. PN₁, PN₂, PN₃ en PN₄ (zie figuur 12). De vergelijking luidt nu PN₁.PN₃ = k.PN₂.PN₄.

Allereerst merkte hij op, dat de hoek waaronder de afstand tot elk van de zijden van de vierhoek genomen wordt, zo geschikt mogelijk gekozen mag worden, onder aanpassing van de factor k. Immers als de hoek met een bepaalde zijde - zeg CD - gelijk dient te zijn aan g₀, terwijl zij in de afleiding gelijk aan g₁ gekozen is, dan geldt .

Dus moeten we de plaatsverzameling van P bepalen, die voldoet aan

PN₁.PN₃' = k'.PN₂.PN4 met . Daaruit volgt immers PN₁.PN₃ = k.PN₂.PN₄. Dezelfde redenering geldt voor de afstanden tot de andere zijden.

Ten tweede ging hij, anders dan in de moderne wiskunde, uit van een scheefhoekig coördinatenstelsel, waarbij de roostervierkantjes overgaan in roosterruitjes. Ook kiezen we ook de coördinaatassen zo geschikt mogelijk.

De meest geschikte keuzen voor een eenvoudige herleiding van de meetkundige vergelijking tot een algebraïsche zijn nu: de oorsprong in A, de x-as langs AB, de y-as evenwijdig met BC en door A, de afstanden tot de zijden AB en CD evenwijdig aan de y-as, de afstanden tot de zijden BC en AD evenwijdig aan de x-as. Dan geldt:

Substitutie in de meetkundige vergelijking geeft na herleiding: .

Dit is een 'onbepaald' meetkundig probleem: bij elke x hoort een lijn PN₁ = y. Alle mogelijke plaatsen van P vormen samen een figuur: een 'meetkundige plaats(verzameling)' (locus) noemden de schoolboeken dat. De figuur gaat door de punten A, B, C en D, want het product van de afstanden vanuit een hoekpunt tot beide paren overstaande zijden is 0 en 0 = k.0.

Bij elke x kan volgens euclidische methoden, die Descartes eerder besproken heeft, de lijn met lengte y geconstrueerd worden.

Omdat de vergelijking van de tweede graad is, is de kromme die P doorloopt een kegelsnede. Afhankelijk van de vraag, of de discriminant van het kwadratische gedeelte in x en y groter is dan 0, gelijk aan 0 of kleiner dan 0, is deze kegelsnede een hyperbool (twee asymptoten), een parabool (de twee asymptoten vallen samen in de as) of een ellips (zonder asymptoot).

We kunnen twee gevallen van ontaarding van de vierhoek onderscheiden:

1) Twee aanliggende zijden vallen samen. Er ontstaat dan een driehoek en de meetkundige plaats kan worden teruggebracht tot PN₁ = k.PN₃. Dat is een rechte lijn, voor het geval k = 1 de bissectrice.

2) Twee overstaande zijden vallen samen. We krijgen dan ook een driehoek. Dit wordt genoemd het 'drielijnenprobleem' van Pappos:

PN₁.PN₃ = k.PN₂².

Als Descartes eenmaal het begrip 'vergelijking van een meetkundige kromme' beheerst, ontwikkelt hij het in verschillende richtingen:

Het snijpunt(en) van twee krommen kan verkregen worden door de twee vergelijkingen met twee onbekenden samen op te lossen.

Krommen kunnen geclassificeerd worden aan de hand van de graad van de bijbehorende vergelijkingen.

Bekend is 'het folium (blad) van Descartes' met vergelijking

x³ + y³ — 3axy = 0.

Descartes ontwerpt ook een 'probleem van Pappos' met vijf lijnen, de 'parabool van Pappos', met de derdegraads vergelijking

(a+x)(a—x)(2a—x) = kxy.

Een Papposprobleem met 2n+1 of 2n+2 lijnen geeft een vergelijking in x en y van de n-de graad.

Bedacht moet worden, dat Descartes weliswaar coördinaten gebruikt, maar geen 'losse' coördinaatassen. Zijn coördinaten worden altijd gemeten ten opzichte van gegeven lijnstukken in een meetkundige figuur. Die lijnstukken maken in het algemeen een scheve hoek met elkaar. In moderne eindexamenopgaven komen we nog vaak tegen: "Gegeven is een rechthoekig coördinatenstelsel Oxy". Omdat we tegenwoordig nooit scheefhoekige assen gebruiken, doet die aanduiding wel een beetje ouderwets aan.

5) Elementaire Verhandeling over veelvlakken

Descartes bewoog zich ook op het terrein van de ruimtemeetkunde en stelde in een onuitgegeven manuscript uit 1621, dat pas 200 jaar na zijn dood bekend werd: "Als vier rechte hoeken in het vlak vermenigvuldigd worden met het aantal hoekpunten en daarvan worden acht rechte hoeken in het vlak afgetrokken, dan resteert de som van alle vlakke hoeken die op het oppervlak van dat veelvlak voorkomen."

In formule gezet: 2pH — 4p = , waarin H het aantal hoekpunten van het veelvlak is en n_h het aantal hoeken A_hi in het h-de hoekpunt. Deze formule kunnen we schrijven als , in moderne termen: Het totale hoektekort[26] van een convex veelvlak is 4p.

Euler ontdekte dezelfde eigenschap van veelvlakken en publiceerde haar in 1752, samen met de 'formule van Euler voor veelvlakken':

H — R + Z = 2

waarin H het aantal hoekpunten, R het aantal ribben en Z het aantal zijvlakken is. Hij laat ook zien, dat de twee stellingen equivalent zijn:

6) De ovalen van Descartes

In het tweede aanhangsel van "Discours de la méthode", "La dioptrique" geheten, probeert Descartes het antwoord op de vraag te vinden: Welke vorm moet een brekingsoppervlak tussen twee stoffen hebben, zodat een lichtpunt in de ene stof een scherp beeldpunt in de andere stof heeft? Volgens de wet van Snel geldt: ^sin^a/_sin_b = ^m/_n. Hierin zijn m en n de brekingsindices van de twee stoffen en a en b de hoeken van inval en breking. Daaruit leidt Descartes af, dat m.PB₁ + n.PB₂ = constant.[27]

In boek II van "La Géométrie" werkt hij het probleem verder uit:

Wat is de plaats van de punten P waarvoor geldt
m.PB₁ + n.PB₂ = constant bij vaste B₁ en B₂ en positieve getallen m en n?

Descartes begrijpt, dat hieruit omwentelingsfiguren ontstaan om de as B₁B₂, die een ovale vorm hebben, maar geeft geen afleiding van de vergelijking. Hij ontdekt, dat voor m = n = 1 een ellips ontstaat.[28]

Voor m = —n krijgen we een hyperboloïde.

Uit Descartes' vondst kunnen twee conclusies getrokken worden:

1. Een spiegel in de vorm van een omwentelingsellipsoïde vormt van een lichtpunt in het ene brandpunt een scherp beeldpunt in het andere.

2. Als twee stoffen van elkaar gescheiden worden door een oppervlak met een bepaalde ovale vorm en in een 'brandpunt' van de ovaal bevindt zich een lichtpunt, dan wordt hiervan in de andere stof een scherp beeld gevormd.[29]

7) Wat is een bewijs?

Veeltermen van machten in x en y noemt Descartes 'meetkundige krommen'. Daartoe behoren ook vanouds bekende krommen als de conchoïde en de cissoïde.

Door de oude Grieken moesten oplossingen van wiskundige problemen altijd vergezeld gaan van een constructiemethode met passer en liniaal.

Dit geldt ook voor Descartes. Alleen kon hij voor de constructie van oplossingen van derdegraads en hogere vergelijkingen niet meer volstaan met die instrumenten. Vanaf 1619 al ontwerpt Descartes apparaten om constructies mee uit te voeren. Interessant zijn de 'trisector' (driedeler) en het 'mesolabum' (= middel(evenredig)nemer).

Om te beginnen met de 'bisector', dat is een apparaat om een hoek in tweeën te delen. Dit kan bijv. met een scharnierende ruit. Maak een hoek daarvan gelijk aan de gegeven hoek en verbind zijn hoekpunt met het tegenoverliggende hoekpunt van de ruit.

De trisector is gebaseerd op het constructievoorschrift van Archimedes met passer en gemerkte liniaal.[30]

Figuur 13: Mechanische trisector overeenkomstig de hoekdriedeling van Archimedes: OB = AB = AC; b = 3a

Het mesolabum heeft meerdere uitvoeringen, naar gelang men een, twee, drie of meer tussenevenredigen van twee gegeven lijnstukken a en b wil bepalen. Het maakt gebruik van de eigenschap dat een rechthoekszijde middelevenredig is tussen de schuine zijde en zijn projectie op die zijde.

Figuur 14: Descartes' idee voor een mesolabum of 'middelevenredignemer'

Neem twee latten die in een uiteinde scharnierend aan elkaar vastzitten en een scherpe hoek met elkaar maken. Neem daarnaast zoveel rechte hoeken als men evenredigen wil bepalen plus één. Laat de eerste rechte hoek verschuifbaar zijn langs een been van de scherpe hoek. Zet dit vast op een afstand a van het hoekpunt van de scherpe hoek. Het loodrechte been daarvan snijdt het andere been van de scherpe hoek in een punt waar een tweede rechte hoek verschuifbaar bevestigd is. Het loodrechte been daarvan snijdt het eerste been van de scherpe hoek weer in een punt waar ........ enz. Pas nu de grootte van de scherpe hoek zo aan, dat het laatste snijpunt op een afstand b van het scherpe hoekpunt ligt.

In figuur 14 worden drie tussenevenredigen bepaald:

Dit soort constructies was er op gericht om de juistheid aan te tonen van het bestaan van de tussenevenredigen. Dit steunt immers de verbeeldingskracht om zich een helder beeld te vormen (zie B2).

Later (1625) voegt hij nog een derde constructievoorschrift ter oplossing van het probleem van de driedeling toe, maar nu op papier:

Het verband tussen de koordlengte x = 2.sin(¹/₆.j) in een cirkel op een middelpuntshoek van ¹/₃.j en de koordlengte y = 2.sin(½.j) op een hoek j is y = 3x—x³. [31]

Teken de parabool y = —x² en de cirkel met middelpunt

(—sin(½.j),—2) die door de oorsprong gaat (zie figuur 15). De cirkel heeft de vergelijking y² + 4y + x² + 2x.sin(½.j) = 0. De coördinaten van drie snijpunten voldoen dan aan de vergelijking 2.sin(½.j) = 3x — x³ en de kleinste positieve x-coördinaat is gelijk aan 2.sin(¹/₆.j).

Van de door Descartes beschreven methoden om een hoek in drieën te delen beschouwde hij de laatste als exact, omdat uitsluitend gebruik gemaakt wordt van tweedegraads krommen.

Daarom voegde hij aan de klassieke axioma's - die allemaal over eerste- en tweedegraads krommen gaan - er een toe: "Twee of meer lijnen (krommen) kunnen over elkaar heen worden geschoven, zodat hun snijpunten nieuwe krommen bepalen."

Met behulp van dit axioma konden alle meetkundige (wij zeggen: 'algebraïsche') krommen geconstrueerd worden.

Zulke constructies golden voor de 17e-eeuwer als de oplossing van het probleem. In het moderne wiskundige bewustzijn kan de oplossing meer gedaantes aannemen, bijv. een formule van Cardano of een iteratie, waarmee het antwoord in willekeurig veel decimalen kan worden berekend. Wat een oplossing is en hoe de juistheid daarvan bewezen moet worden zijn kennelijk vragen die in verschillende perioden van de geschiedenis (en door verschillende 'scholen') verschillend beantwoord worden.

Naast de 'exacte' meetkundige bestaan ook 'mechanische' (wij zeggen: transcendente) krommen, zoals de logaritmische spiraal (in poolcoördinaten: r = a^j^[32]) en de trisectrix van Hippias, ook wel quadratrix genoemd (y = x.tan(½.jy), zie Ea, 2.B2). Hierover merkt Descartes op: "Meetkunde moet niet gaan over lijnen (krommen) die als een touw zijn, dat soms recht en soms gebogen is, want de lengteverhoudingen tussen rechte en kromme lijnen zijn onbekend en kunnen naar mijn mening door de menselijke geest niet ontdekt worden en daarom kunnen er geen conclusies op grond van zulke verhoudingen worden geaccepteerd als streng en exact."

Descartes vergiste zich. 21 jaar later berekent Christopher Wren de lengte van zo'n kromme lijn: de cycloïde. Daarop volgden de kettinglijn, de epicycloïden en andere.

C De projectieve meetkunde van Desargues

vermelde personen in 4.C:
Apollonius van Perga	262-190 v. Chr.	Desargues, Girard	1591-1661
Menelaos van Alexandrië	70-130	Descartes, René	1596-1650
Pappos van Alexandrië	290-350	Fermat, Pierre de	1601-1665
Alberti, Leone	1404-1472	Pascal, Blaise	1623-1662
Kepler, Johann	1571-1630	Taylor, Brook	1685-1731
Mersenne, Marin	1588-1648	Poncelet, Jean Victor	1788-1867

1) Nogmaals kegelsneden !

De Italiaanse schilders en architecten benaderden het probleem van de perspectief vooral als het zoeken naar de juiste weergave van de werkelijkheid. Alberti merkte op, dat een serie lijnen die evenwijdig aan elkaar over de grond lopen op het schilderij moest worden getransformeerd tot een serie in één punt samenkomende lijnen. Een cirkel op de grond werd op het schilderij een ellips, enzovoorts.

Hij stelde zich al de vraag, wat voor eigenschappen twee perspectieven van eenzelfde figuur gemeenschappelijk hebben. Een perspectief kan veranderen door het schilderijvlak een andere helling te geven ten opzichte van de zichtlijnenbundel én door het oog te verplaatsen.

De Franse ingenieur-officier Girard Desargues had zich de werken van de Griekse wiskundigen Apollonius en Pappos eigen gemaakt. Hij wilde de technische vorming van schilders, ingenieurs en steenhouwers verbeteren en onderzocht het verband tussen de regels van de perspectief en diens theorie van de kegelsneden.

Apollonius leerde hem, dat zowel parabool, hyperbool als ellips gevormd kunnen worden als doorsnede van een kegel met cirkelvormig grondvlak met een vlak V onder verschillende hellingen. Desargues realiseerde zich, dat je de top van de kegel als het punt kunt beschouwen, van waaruit het grondvlak geprojecteerd wordt op vlak V met als projectie de kegelsnede. Vervolgens zocht hij naar eigenschappen van de cirkel, die bij projectie behouden blijven.

Eén zo'n eigenschap van de cirkel vond hij door uit te gaan van een stelling van Pappos over de zes snijpunten van een volledige vierhoek met een rechte (zie Ea, 5.B3). Daarbij voerde hij het centrale begrip 'involutie' in:

Twee puntenparen A, B en A', B' op een rechte lijn zijn een involutie, als het product van de afstanden van een paar punten tot een punt O gelijk is aan dat van het andere paar: OA.OB = OA'.OB'. Nu kan er altijd een punt O gevonden worden, zodat twee puntenparen een involutie zijn. O heet 'het centrum' van de involutie. Bijzonder wordt het pas, als drie of meer puntenparen een involutie zijn met één punt als centrum.

Bij Desargues luidde Pappos' stelling: De zes snijpunten van een complete vierhoek met een willekeurige rechte zijn drie paren van een involutie, waarbij elk paar gevormd wordt door de snijpunten met een paar overstaande zijden.

Desargues beschouwde nu een koordenvierhoek en bewees, dat de snijpunten van de rechte met de omgeschreven cirkel een vierde paar van de involutie uit Pappos' stelling vormden. Door vervolgens een punt te nemen buiten het vlak van de figuur en alle punten van de figuur met dit punt te verbinden, ontstaat een ruimtelijke figuur met een kegel daarin. De doorsnede van deze ruimtelijke figuur met een vlak V bestaat weer uit een platte figuur met een kegelsnede daarin. Desargues' conclusie luidde:

Als een complete vierhoek ingeschreven wordt in een kegelsnede, zal een rechte die niet door een hoekpunt gaat de kegelsnede en de paren overstaande zijden snijden in vier puntenparen van een involutie.

De kern van het bewijs wordt gevormd door de eigenschap, dat involutie van puntenparen ten opzichte van een centrum bij projectie behouden blijft. Deze eigenschap leidde Desargues af uit de stelling van Menelaos.

Desargues' methode om eigenschappen van een cirkel via projectie over te brengen op eigenschappen die gelden voor alle kegelsneden was geniaal. Hij was zich bewust van de vruchtbaarheid van zijn methode en beschreef deze in een boek, getiteld "Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan" ("Conceptverslag van een studie naar de resultaten van de doorsnijding van een kegel met een vlak"). Dit liet hij in 1639 in vijftig exemplaren drukken en verspreidde die onder bevriende mathematici.

In dit werk vinden we nog enkele algemene principes, die van belang zijn gebleken voor de ontwikkeling van de (later genoemd: projectieve) meetkunde: de invariantie bij projectie van een harmonisch viertal punten, de toekenning van een snijpunt aan evenwijdige lijnen 'in het oneindige' en de theorie van pool en poollijn.

Desargues interesseerde zich vooral voor de perspectief en de wiskunde daarvan in de kunst en begaf zich met zijn boek op een terrein dat niet aansloot op de analytische meetkunde en de infinitesimaalrekening, die toen furore maakten. Descartes liet zich, voordat hij er iets van gelezen had, kritisch over Desargues' 'brouillon project' uit. Hij kon zich niet voorstellen, zo schrijft hij aan Mersenne, dat er op meetkundig gebied nog iets te ontdekken viel aan de kegelsneden ! Mede door de geringe oplaag en het gebruik van een groot aantal aan de plantkunde ontleende nieuwwoorden vond zijn werk geen weerklank en Desargues trok zich teleurgesteld op zijn landgoed terug. Een leerling van hem, graveur Abraham Bosse, probeerde zijn vindingen te populariseren door het schrijven van "Manière universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective par petit-pied comme le géométral ……. "[33]. Dit praktijkboek bevat een door Desargues geschreven aanhangsel met nog enkele belangrijke stellingen, onder andere wat later de 'stelling van Desargues' (zie §5) zou gaan heten. Het komt uit in 1648, maar dan is Desargues inmiddels, 54 jaar oud, een carrière als architect begonnen.

Zijn tijdgenoot Fermat beschouwt hem als de werkelijke grondlegger van de theorie van de kegelsneden, maar deze wist nog niet, dat Desargues' stellingen verband hielden met eigenschappen van de structuur van de ruimte, die dieper gaan dan de axioma's van de euclidische meetkunde.

De 32 jaar jongere Pascal erkende ten volle Desargues' meesterschap en liet zich inspireren tot de 'stelling van Pascal'. Ook hij maakte nog geen onderscheid tussen projectieve en euclidische meetkunde. De metriek (het meten van afstanden) van de ruimte impliceert een ordening van die ruimte waarvan de geheimen pas halverwege de negentiende eeuw door geleerden als Poncelet ontsluierd zouden worden.

De Engelsman Brook Taylor zet in 1715 met zijn "Essay on Linear Perspective" de fundamentele eigenschappen van de perspectief op een originele en meer algemene vorm uiteen dan al zijn voorgangers.

2) Invarianten op een lijn

Bij Pappos (zie Ea, 5.B3) zijn we de stelling tegengekomen, dat de drie diagonalen in een volledige vierhoek elkaar inwendig in dezelfde verhouding verdelen als uitwendig.

Desargues zag in, dat dit een bijzonder geval van involutie is en gaf er de naam 'harmonisch viertal' aan.

Stel, dat lijnstuk AB inwendig verdeeld wordt door het punt E en uitwendig door F.

Laat gelden: (de lijnstukken zijn georiënteerd). Dan zijn E en F elk dubbelpunten van een involutie met het paar A, B. Dat wil zeggen:

Er is een punt O met de eigenschap OA.OB = OE² = OF². Bewijs:

Neem voor O het midden van lijnstuk EF.OE = OF º d.

Dan is FA.EB = (d + OA)(OB — d) = OA.OB + d.AB — d², maar ook

FA.EB = FB.—EA = FB.AE = (d + OB)(d — OA) = d² + d.AB — OB.OA
Uit OA.OB — d² = d² — OB.OA volgt de eigenschap OA.OB = d².

Figuur 16: Twee punten (A en B), die inwendig en uitwendig in dezelfde verhouding verdeeld worden door twee andere punten (E en F) vormen een involutie met die punten als dubbelpunten.

Het harmonische viertal A,B,E,F is dus een involutie. Omdat de projectie van een involutie weer een involutie is, geldt dat ook voor harmonische viertallen.

Bij een harmonisch viertal speelt het centrum O van de involutie geen rol meer. De definitie maakt uitsluitend gebruik van onderlinge afstanden. Verder geldt, dat als A,B,E,F een harmonisch viertal is, B,A,E,F en A,B,F,E en B,A,F,E het ook zijn, evenals E,F,A,B en F,E,A,B en E,F,B,A en F,E,B,A.

Als derde invariante grootheid voert Desargues de dubbelverhouding van

vier punten op één lijn in. Dit is de grootheid .

3) Punten in het oneindige

In 4.A8 is al vermeld, dat Kepler de parabool als kegelsnede beschouwde, die één brandpunt in het oneindige heeft. Je kunt haar zowel laten ontstaan uit een ellips als uit een hyperbool door het snijvlak met de kegel te draaien. Op gelijke wijze beschouwde hij in het platte vlak alle snijlijnen van een gegeven lijn l door een gegeven punt P. Door draaiing van de snijlijn schuift het snijpunt langs de lijn l, totdat zij evenwijdig loopt aan l. Het snijpunt is dan 'in het oneindige verdwenen'. Bij verdere draaiing keert het snijpunt weer 'uit het oneindige' terug.

Kepler beschouwde het snijpunt in het oneindige als meer dan een zegswijze. Hij voegde aan elke rechte lijn axiomatisch een punt 'in het oneindige' toe. Twee evenwijdige lijnen snijden elkaar links en rechts tegelijk in dat ene punt. Daardoor kan je langs een rechte lijn rondgaan, net als bij een cirkel.

Desargues had dezelfde opvatting, maar zijn argumentatie vloeit voort uit zijn studie van de perspectief: Als je de bermen van een weg die van je af loopt, wilt tekenen, dan bewegen deze zich op het papier schuin omhoog naar elkaar toe. Volg je de methode van Alberti, waarbij het papier als een soort venster naar de werkelijkheid verticaal gehouden wordt (zie 2.C3), dan zijn de lijnen op papier de snijpunten van de zichtlijnen naar punten van de berm met het papiervlak. Noem het vlak door het oog O en de linkerberm L en het vlak door O en de rechterberm R. Omdat L en R het grondvlak snijden langs twee evenwijdige lijnen, de bermen, is de snijlijn s van L met R evenwijdig aan de bermlijnen. (Als s niet evenwijdig met de linkerberm zou zijn, zou hun snijpunt in L, in R en in het grondvlak liggen, dus op de snijlijn van R en het grondvlak, dat wil zeggen op de rechterberm. Maar de bermen zijn evenwijdig !)

De lijn s snijdt het venster in een punt, dat op het papier verschijnt als het punt waar de weg 'achter de horizon' verdwijnt. Alle lijnen die evenwijdig aan de weg lopen hebben hetzelfde 'verdwijnpunt'. Door te stellen, dat alle evenwijdige lijnen een punt in het oneindige gemeenschappelijk hebben, kan het verdwijnpunt beschouwd worden als zijn projectie.

Punten in het oneindige kunnen dus in 'eindige' punten geprojecteerd worden en omgekeerd.

Het oneindige punt op een rechte is van belang in samenhang met het begrip harmonisch viertal. Elk drietal punten A, E, B met AE = EB vormt namelijk samen met het oneindige punt een harmonisch viertal.

4) Pool en poollijn

Elk punt buiten een kegelsnede heeft twee raaklijnen aan die snede. De poollijn van dat punt ten opzichte van de kegelsnede is de lijn die de twee raakpunten verbindt. Omgekeerd is de pool van een lijn die de kegelsnede snijdt het snijpunt van de raaklijnen door de twee snijpunten van de lijn met de kegelsnede.

Apollonius had al aangetoond, dat de verhouding van de lijnstukken waarin een punt F op de snijlijn van een kegelsnede de uitsnede (het lijnstuk dat de snijpunten verbindt) uitwendig verdeelt, gelijk is aan de verhouding van de stukken waarin de poollijn van F de uitsnede inwendig verdeelt. De punten A,B,E,F met E op de poollijn en A en B op de kegelsnede vormen dus een harmonisch viertal.

Als F een oneindig punt is, dan zijn alle snijlijnen door F evenwijdig. De poollijn van F is de lijn die de raakpunten van twee evenwijdige raaklijnen aan de kegelsnede verbindt, dus een zogenaamde middellijn van de kegelsnede. Omdat A,B,E,F een harmonisch viertal is, geldt nu Dit is de eigenschap van geconjugeerde middellijnen.

Op deze manier toonde Desargues aan, hoe nauw verschillende stellingen met elkaar samenhangen.

Desargues toonde ook nog het volgende aan. Neem een cirkel met daarin een koordenvierhoek ABCD. Laat F het snijpunt zijn van een paar overstaande zijden en G van het andere paar. Dan liggen G en het snijpunt van de diagonalen op de poollijn van F. (Van drie 'diagonaalpunten' liggen er steeds twee op de poollijn van de derde.) Vervolgens bracht hij deze eigenschap van een cirkel via projectie weer over op alle kegelsneden.

5) De stelling van Desargues

Laat twee driehoeken ABC en A'B'C' vanuit een punt O perspectivisch samenvallen (O ligt dus zowel op AA' als op BB' en CC'). Dan liggen de snijpunten van overeenkomstige zijden op één rechte lijn.

Figuur 17: Stelling van Desargues

Het omgekeerde van deze stelling is ook waar. Het bewijs daarvan is eenvoudig, tenminste als de driehoeken in verschillende vlakken liggen: Elk paar overeenkomstige zijden ligt dan in een ander vlak. Elk paar bepaalt een snijpunt (tenzij het evenwijdig loopt). De drie snijpunten moeten echter zowel in het vlak door ABC als in het vlak door A'B'C' liggen, dus ze liggen op de snijlijn van die twee vlakken.

Als de driehoeken in één vlak liggen, ligt de situatie moeilijker. Maar doordat twee perspectivisch samenvallende driehoeken in één (teken)vlak door de kijker altijd waargenomen kunnen worden als twee driehoeken, die niét in een vlak liggen, kunnen we dat geval opvatten als een doorsnede met het tekenpapier van de ruimtelijke figuur, bestaande uit alle zichtlijnen naar de figuur van twee driehoeken, die niét in een vlak liggen. Snijpunten in de ruimte gaan dan over in snijpunten in het tekenvlak, enz.

Dank zij de ruimere opvatting van Desargues van het begrip 'rechte lijn' omvat deze stelling ook alle gevallen waarbij O een oneindig punt is en/of één of meer van de overeenkomstige zijden evenwijdig lopen. Als alle drie zijdenparen evenwijdig zijn, dan liggen de drie snijpunten alle drie 'in het oneindige'. In dit geval zijn de vlakken door ABC en door A'B'C' met elkaar evenwijdig (uitgaande van het driedimensionale geval) en ligt hun snijlijn in zijn geheel in het oneindige.

D De wetenschappelijke academies

vermelde personen in 4.D:
Augustinus van Hippo	354-430	Oldenburg, Henry	1619-1677
Bacon, Francis	1561-1626	Pascal, Blaise	1623-1662
Galilei, Galileo	1564-1642	Newton, Isaac	1643-1727
Kepler, Johann	1571-1630	Leibniz, Gottfried	1646-1716
Mersenne, Marin	1588-1648	Peter de Grote	1672-1725
Desargues, Girard	1591-1661	Bernoulli, Nikolaus	1687-1759
Descartes, René	1596-1650	Bernoulli, Daniel	1700-1782
Fermat, Pierre de	1601-1665	Euler, Leonhard	1707-1783
Roberval, Gilles de	1602-1675	Lagrange, Joseph-Louis	1736-1813

Door de toenemende welvaart onder de burgerij kwamen meer jongeren in de gelegenheid onderwijs te volgen aan de Latijnse scholen. Zij die hun studie voortzetten aan de universiteit, kregen daar onderwijs volgens de middeleeuwse lesprogramma's. De nieuwe ontdekkingen in astronomie, optica en geneeskunde drongen slechts zeer langzaam tot het curriculum door, vaak omdat zij het heersende filosofische wereldbeeld te zeer verstoorden.

Baanbrekers als Descartes, Desargues, Pascal en Leibniz waren dan ook grotendeels autodidact. Vaak leidden zij een wetenschappelijk geïsoleerd bestaan. Om hun ontdekkingen te laten toetsen stuurden zij soms korte geschriften in een kleine oplage rond, of zij vermeldden de nieuwe formules in brieven aan geestverwanten, soms in geheimschrift.

De behoefte aan uitwisseling van kennis leidde in de loop van de zeventiende eeuw tot de oprichting van wetenschappelijke academies. Eerst waren dat particuliere verenigingen van onderzoekers en denkers. In Rome ontstond in 1603 de "Academia dei Lincei".

In Parijs organiseerde pater Mersenne wekelijkse ontmoetingen van wiskundigen. Descartes nam daaraan al op 22-jarige leeftijd deel. Ook Desargues, Fermat, Roberval en leden van de familie Pascal namen later aan de bijeenkomsten deel. Mersenne onderhield ook schriftelijk contacten met geleerden over de hele wereld.

Zijn "Academia Parisiensis" ontwikkelde zich tot "Académie Libre". In 1666 transformeerde de Franse eerste minister Colbert haar tot "Académie des Sciences". Dit was voor de staat een manier om belangrijke wetenschappers aan zich te binden en de vruchten van hun werk te plukken, maar tevens een prestigeobject.

In Engeland waren er vanaf het begin van de eeuw wetenschappelijke verenigingen in Cambridge, Oxford en Londen. De laatste werd in 1662 omgedoopt tot "Royal Society". Hier was Henry Oldenburg secretaris. Hij speelde eenzelfde bemiddelende rol tussen wetenschappers in het Germaanse taalgebied als pater Mersenne in het Romaanse taalgebied.

In Pruissen werd op aandrang van de filosoof Leibniz in 1700 een Academie van Wetenschappen opgericht. Deze zou Euler en Lagrange als medewerkers aantrekken.

Tsaar Peter de Grote richtte in 1724 in Sint Petersburg een Academie op. Euler, en Daniel en Nikolaus Bernoulli zouden er werken.

De Academies waren niet alleen van belang voor de onderlinge contacten, zij gaven ook wetenschappelijke tijdschriften uit. Hierdoor kregen wetenschappelijke vindingen, buiten de universiteiten om, snel een grote verspreiding.

De verwachtingen, die Bacon en Descartes van de wetenschap koesterden kwamen door de oprichting van nationale Academies van Wetenschappen een stap dichter bij hun vervulling. Althans wetenschap en technische ontwikkeling gingen voortaan hand in hand.

Het gezag van de universiteiten als studiecentra gericht op het ontwerpen van een compleet wereldbeeld onder leiding van de officiële theologie, taande.

Bij Kepler, Galilei en Descartes noemde ik al de plaats die zij aan een Opperwezen toekennen in de mathematisch/fysische wereldorde. Deze mannen zochten een nieuwe en gezonde basis voor hun empirisch (door experiment verkregen) wereldbeeld. Wiskunde was het enige zekere fundament te midden van achterhaalde filosofische systemen, bestreden theologische opvattingen en veranderende ethische waarden. Dit fundament koppelden zij aan de middeleeuwse gedachte, dat God een groots plan met deze wereld had (Augustinus: "De Stad Gods"). De ontdekking van een natuurwet gaf hun aanleiding om God te prijzen voor de wiskundige harmonie die deze in de schepping had gelegd. Ook de grote natuur- en wiskundige Newton zag het boek van de natuur en de Bijbel als geschreven door God.[34]

5. De grote hobbyisten uit de zeventiende eeuw

A Pierre de Fermat

vermelde personen in 5.A:		Mersenne, Marin	1588-1648
Euclides	325-265 v. Chr.	Descartes, René	1596-1650
Archimedes van Syracuse	287-212 v. Chr.	Cavalieri, Bonaventura	1598-1647
Apollonius van Perga	262-190 v. Chr.	Carcavi, Pierre de	1600-1684
Heron van Alexandrië	10-75	Fermat, Pierre de	1601-1665
Diophantus van Alexandrië	200-284	Roberval, Gilles de	1602-1675
Olympiodorus	vijfde eeuw	Bessy, Bernard de	1605-1675
Brahmagupta	598-670	Torricelli, Evangelista	1608-1647
Thabit ibn Qurra	836-901	Pell, John	1611-1685
Bhâskara II	1114-1185	Schooten, Frans van	1615-1660
Narayana	1340-1400	Wallis, John	1616-1703
Viète, François	1540-1603	Brouncker, William	1620-1684
Cataldi, Pietro	1548-1626	Barrow, Isaac	1630-1677
Stevin, Simon	1548-1620	La Hire, Philippe de	1640-1718
Kepler, Johann	1571-1630	Euler, Leonhard	1707-1783
Snel van Royen	1580-1626	Lagrange, Joseph-Louis	1736-1813
Bachet, Claude	1581-1638	Legendre, Adrien-Marie	1752-1833
Hobbes, Thomas	1588-1679	Gauss, Carl	1777-1855

1) De hobby van een bestuurder

Pierre de Fermat werd in 1601 geboren in de omgeving van Toulouse. Zijn vader was leerhandelaar, zijn moeder kwam uit een familie van advocaten. Ook Pierre werd advocaat. Van hoofd van de Burgerlijke Stand bracht hij het tot Kroonlid van het parlement van Toulouse.

Behalve een bekwaam jurist en bestuurder was Fermat een briljant classicus en taalkundige. Hij dichtte in het Latijn, Frans en Spaans. Maar het grootste deel van zijn vrije tijd besteedde hij aan wiskunde.

Omdat hij geen wiskundige van beroep was, hoefde Fermat niet te publiceren. Wel circuleerden er manuscripten van hem en onthulde hij zijn ontdekkingen in brieven aan zijn vele wiskundige correspondentievrienden. Fermat had een sterke wiskundige intuïtie. Hij gaf zelden bewijzen voor zijn stellingen. Om die te reconstrueren moeten we meestal afgaan op zijn opvolgers Euler en Legendre. Daardoor kon het voorkomen, dat een stelling later fout bleek te zijn.

Zo vermoedt Fermat, dat de meeste getallen van de vorm priem zijn. Dat is juist voor n = 1, 2, 3 en 4. Euler ontdekt echter in 1732, dat 2³² + 1 gelijk is aan 6 700 417 × 641. Het blijkt, dat juist voor grotere n de meeste getallen van de vorm deelbaar zijn.

Fermat hield zich bezig met onderzoek naar eigenschappen van gehele getallen (getaltheorie), coördinatenmeetkunde, 'functieonderzoek' en kansrekening. Op het gebied van coördinatenmeetkunde en functieonderzoek waren Fermat en Descartes elkaars concurrenten en kritiseerden zij elkaars werk.

2) Getaltheorie

Fermat heeft de beschikking over een recente vertaling van Diophantus' "Rekenkunde". In de kantlijn van dat boek noteert hij de meeste van zijn eigen bevindingen. We vermelden hier slechts enkele van zijn opvallende resultaten.

Over priemgetallen:

· Als p een priemgetal is en a is niet een veelvoud van p, dan is a^p—a deelbaar door p (de zogenaamde 'kleine stelling van Fermat', in 1640 meegedeeld aan zijn vriend Bernard de Bessy en pas in 1736 bewezen door Euler). Neem bv. p = 5. Dan zijn 2⁵ — 2 = 30, 3⁵ — 3 = 240,
4⁵ — 4 = 1020 enz. deelbaar door 5.

· Als p een priemgetal is van de vorm 4n+1, dan kunnen er s verschillende rechthoekige driehoeken gevonden worden met p^s als schuine zijde en gehele getallen als rechthoekszijden.

· Geen enkel priemgetal van de vorm 4n+3 kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.

· Elk priemgetal van de vorm 4n+1 kan precies op één manier geschreven worden als de som van twee kwadraten. (in een brief aan pater Mersenne, 1640)

Over de laatste stelling getuigt Fermat in een brief van zijn worsteling om tot een originele oplossing te komen:

"Ik bevond mij in een kwellende situatie. Maar tenslotte gaf een telkens herhaalde overweging mij het nodige licht. De gang van mijn redenering bij positief geformuleerde stellingen is als volgt: indien een willekeurig gekozen priemgetal van de vorm 4n+1 niet de som van twee kwadraten is, bewijs ik, dat er een ander met dezelfde eigenschap is, kleiner dan de gekozene en vervolgens een derde, nog kleiner enz. Door zo een oneindige afdaling te maken komen we tenslotte bij het getal 5, het kleinste van alle getallen met die eigenschap. Het volgt, dat 5 niet de som van twee kwadraten is. Maar dat is het wel. Daarom moeten we door 'reductio ad absurdum' concluderen, dat alle getallen van de vorm 4n+1 sommen zijn van twee kwadraten."

Over natuurlijke en veelhoeksgetallen (zie Ea, 2.A3) beweerde Fermat onder andere, in de kantlijn:

· Elk natuurlijk getal is een driehoeksgetal (= een getal van de vorm ½.n(n+1)) of het kan geschreven worden als de som van twee of drie driehoeksgetallen.

· Elk natuurlijk getal is een vierhoeksgetal (= kwadraat) of het kan geschreven worden als de som van twee, drie of vier vierhoeksgetallen.
Lagrange bewees deze stelling in 1770, zo’n 130 jaar later. Euler had omstreeks 1750 al veel bewijspogingen ondernomen en kwam onder andere tot het resultaat, dat als twee getallen beide geschreven kunnen worden als de som van vier kwadraten, hun product ook zo geschreven kan worden (zie 16.B1).

· Elk natuurlijk getal is een p-hoeksgetal (een getal van de vorm ½.n(n—1)p — n² + 2n) of het kan geschreven worden als de som van ten hoogste n p-hoeksgetallen.

Over volmaakte en bevriende getallen[35] (zie Ea, 2.A3):

Euclides had bewezen, dat als een priemgetal p de vorm 2ⁿ—1 heeft, het getal ½.p(p+1) een volmaakt getal is. Daaraan voldoen p = 3, 7, 31, 127, 8191 enz. met de volmaakte getallen 6, 28, 496, 8 128 en 33 550 336. In 1607 vond Pietro Antonio Cataldi, dat ook n = 17 en n = 19 priemgetallen opleveren en dat een even n zeker géén priemgetal geeft.

Fermat schreef aan pater Mersenne, die de kwestie ook bestudeerde, dat a) als n deelbaar is, 2ⁿ—1 het ook is b) als n priem is, 2ⁿ—1 alleen deelbaar kan zijn door getallen van de vorm 2kn + 1 (voorbeeld:

2¹¹—1 = 2047 is deelbaar door 23 en 89).

Er zijn nu twintig volmaakte getallen bekend, alle even.

Het oudst bekende paar bevriende getallen is 220, 284. Thabit ibn Qurra (eind 9^e eeuw) en Fermat ontdekten het paar 17 296, 18 416. Descartes gaf 9 363 548 en 9 437 506.

3) De vergelijking x² — Ay² = B

Deze vergelijking was al door de Grieken bestudeerd en misschien maakte Archimedes gebruik van oplossingen van de vergelijking

x²—3y² = —2 met zeer grote x en y om een nauwkeurige benadering te vinden van √3 (zie Ea, 4.B5).

De Indiërs kenden sinds Brahmagupta (628 na Chr.) een methode die ze ‘samasa’ noemden: Als (x, y) een oplossing is van x² — Ay² = B en (x', y') een oplossing van x² — Ay² = 1, dan heeft x² — Ay² = B als oplossingen ook (xx' + Ayy', xy' + x'y) en (xx' — Ayy', xy' — x'y). Door herhaling van dit procedé kun je steeds meer, zelfs oneindig veel, oplossingen van x² — Ay² = B vinden.

De Indiase wiskundige Bhâskara II [36](ca. 1150) bestudeerde ook de vergelijking x² — Ay² = B met natuurlijke A en B. Daarbij bewees hij, dat de vergelijking x² — Ay² = B voor B = ±1, ±2 en ±4 altijd een oplossing heeft en hoe je die moest vinden. Bovendien ontwikkelde hij een iteratieve methode ‘chakravala’, waarmee het hem steeds lukte de vergelijking x² — Ay² = B voor B > 4 terug te brengen tot een met B £ 4 (en dus een oplossing te vinden, die weer oneindig veel oplossingen genereert).[37]

In de veertiende eeuw gaf de Indiër Narayana nog meer voorbeelden van oplossingen van Pells vergelijking, waarbij hij de samasa- en chakravala-methoden combineerde.

Fermat herontdekte de vergelijking die hij bij Diophantus vond, en beweerde in een brief uit 1657 aan Bernard de Bessy, dat deze een onbeperkt aantal oplossingen heeft, als A een positief niet-vierkant getal is. Waarschijnlijk kende hij een algemene oplossingsmethode, want hij noemde als voorbeelden de vergelijkingen met getallen 109, 149 of 433, die alleen oplossingen met zeer veel cijfers hebben. In de brief daagde hij ook alle wiskundigen uit een oneindig aantal oplossingen te vinden.

De Bessy, de Engelsen John Pell en John Wallis en de Ier William Brouncker[38] wisselden brieven over het probleem, die Wallis in 1658 publiceerde (“Commercium epistolicum”). Brouncker maakte daarbij gebruik van het kettingbreukalgoritme[39], waar Lagrange later op voortbouwde. Deze oplossing staat ook in zijn in 1685 verschenen 'Algebra'.

Omdat Wallis vaak samenwerkte met diens collega Pell, dacht Euler 47 jaar later, dat de oplossing van de laatste afkomstig was en noemde de vergelijking x² — Ay² = 1 'Pells vergelijking'. Beter zou zijn geweest 'Bhâskara's vergelijking', want deze had praktisch dezelfde oplossing al 500 jaar eerder gevonden. Daarmee vond hij bijv. de oplossing (x, y) = (226 153 980, 1 766 319 049) voor A = 61 (zie noot 37).

4) De laatste stelling van Fermat

Geen probleem in de wiskunde heeft meer de aandacht getrokken dan 'de laatste stelling van Fermat'. Fermat poneerde deze stelling in 1637.

Ter inleiding het volgende.

De priemgetallen 5, 13, en 41 hebben de eigenschap, dat hun kwadraat gesplitst kan worden in twee kleinere kwadraten: 3²+ 4² = 5²; 5² + 12² = 13²; 7² + 40² = 41².

Omdat 5² gesplitst kan worden, kan dat ook met 10², 15², 20² enz. Idem voor de veelvouden van 13 en 41. De vergelijking x²+ y²= a² met gehele x, y en a heeft dus vele oplossingen.

Probeer nu de vergelijking x³ + y³ = a³ op te lossen. Omdat er oneindig veel gehele getallen zijn, kun je lang proberen. Het blijkt niet mogelijk een derdemacht te splitsen in twee derdemachten.

Hetzelfde kun je je afvragen met betrekking tot iedere andere vergelijking xⁿ + yⁿ = aⁿ met gehele x, y en a en n > 2.

Fermat beweerde[40]: "Het is onmogelijk enige macht boven de tweede te verdelen in twee machten van dezelfde graad. Ik heb een werkelijk wonderbaarlijk bewijs ontdekt, waarvoor deze kantlijn te smal is om hem te bevatten." Helaas nam Fermat niet de moeite het bewijs ergens anders op te schrijven, zodat zijn volgelingen er naar moesten gissen.

Het probleem bezorgt generaties wiskundigen na hem hoofdpijn. Carl Gauss noemt het in 1816 "een geïsoleerd probleem, dat hem niet erg interesseert, omdat hij veel van zulke problemen kan noemen die men niet kan bewijzen, maar ook niet van een tegenvoorbeeld kan voorzien".

De Académie des Sciences looft echter in datzelfde jaar een hoge prijs uit voor degene die het probleem oplost. Talloze wiskundigen zenden hun oplossingen in, maar telkens blijkt, dat ergens in het bewijs een fout geslopen is.

Vanaf 1953 worden er grote vorderingen gemaakt om het bewijs rond te krijgen. Tenslotte wordt het in 1993 voltooid door Andrew Wiles (geb. 1953). Hoe groot Fermats genie ook was, ook zijn bewijs zal wel een fout hebben bevat. Anders had het geen 356 jaar geduurd, voordat een bewijs van vele tientallen pagina's werd voltooid.

5) De methode van oneindige afdaling

Wel schetst Fermat ergens een bewijs voor de stelling, dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek waarvan de zijden gehele getallen zijn nooit een kwadraat kan zijn. (Die stelling is equivalent met de onoplosbaarheid in gehele getallen van a⁴+ b⁴ = c⁴.[41])

Fermat gebruikte in zijn schets de door hem bedachte 'methode van oneindige afdaling'. Deze kan zowel bij positief geformuleerde stellingen ('Er is een oplossing', zie 5.A2) als bij negatief geformuleerde ('Er is geen oplossing') gebruikt worden.

Euler bewijst Fermats stelling zowel voor n = 3 als n = 4. Ter illustratie van de methode van oneindige afdaling volgt hier het bewijs, dat deze in 1770 gaf van de stelling, dat a⁴ + b⁴= c² (en dus in het bijzonder a⁴ + b⁴= c⁴) niet oplosbaar is.

Stel er zijn natuurlijke getallen a, b en c, zodat a⁴ + b⁴= c².

Als a en b door hetzelfde getal d > 1 deelbaar zijn, dan is √c dat ook en kunnen we het linker- en rechterlid van de identiteit delen door r⁴. Zo ontstaat een nieuwe identiteit a⁴ + b⁴= c², waarin a en b relatief priem zijn. Dat sluit meteen uit, dat a en b beide even zijn.

Kunnen ze misschien beide oneven zijn?

Stel a = 2r + 1 en b = 2s + 1, dan is

Dat kan alleen, als c² = 8A + 2 met gehele A, dus c is even en c² is een viervoud. Maar 8A + 2 is géén viervoud. Dus a en b zijn niet beide oneven.

Blijft over de mogelijkheid a = 2r+1 en b = 2s (of omgekeerd).

b⁴ schrijven we nu als c² — a⁴ = (c+a²)(c—a²).

Omdat a oneven is, is a²ook oneven. Dan kan niet tegelijk c even zijn, want in dat geval zijn zowel c+a² als c—a² oneven, dus is hun product oneven. Dit is in strijd met b⁴ is even.

Dus c is oneven, waaruit volgt, dat zowel c+a² als c—a² even zijn.

Zij G de grootste gemene deler van ½(c+a²) en ½(c—a²). Dan is G een deler van hun verschil: a⁴ en G² van ¼(c+a²)(c—a²) = ¼.b⁴. Omdat a en b relatief priem zijn, moet dan G = 1 zijn. Dus ½(c+a²) en ½(c—a²) zijn relatief priem en hun product is een kwadraat. Dan moeten ze elk afzonderlijk een kwadraat zijn: ½(c+a²) = p² en ½(c—a²) = q².

Ook p en q moeten nu relatief priem zijn, dat betekent, dat tenminste één van beide oneven is. Als beide oneven zijn, is ook pq oneven, maar omdat in b² = 2pq getal b even is, moet b²een viervoud zijn. Blijft als mogelijkheid over, dat p even is en q oneven, of omgekeerd.

Optelling en aftrekking van c + a² = 2p² en c — a² = 2q²geeft respectievelijk c = p²+q² en a² = p²—q².

We hebben nu a² = p² — q², b² = 2pq, c = p² + q² met p, q van tegengestelde 'pariteit' (= het even of oneven zijn).

Omdat (2x+1)² = 4(x²+x) + 1, weten we, dat het kwadraat van een oneven getal modulo 4 gelijk is aan 1. We schrijven a² º 1. Uit p even en q oneven zou echter volgen p² — q² º 3. Dus p is oneven en q even.

Uit q² = p² — a² = (p+a)(p—a) kunnen we weer ggd(p+a,p—a) = H afzonderen, zodat de andere factoren relatief priem zijn en, omdat bovendien hun product een kwadraat is, zelf een kwadraat. In formule:

p+a = Hm², p—a = Hn², q² = H²m²n².

Daaruit volgt verder q = Hmn, p = ½(p+a + p—a) = ½.H(m²+n²).

p en a zijn beide oneven, dus H is minstens 2. Maar H kan ook niet meer dan 2 zijn, want anders zijn p en q niet meer relatief priem.

We hebben nu p = m² + n² en q = 2mn.

Uit b² = 2pq volgt nog, dat p en 2q elk afzonderlijk kwadraten zijn.

Nu is 2q = 4mn alleen een kwadraat, als m en n, die relatief priem zijn, beide een kwadraat zijn: m = d², n = e². Substitueren we dit en p = f² in p = m² + n², dan komt er d⁴ + e⁴ = f². Daarin zijn d en e relatief priem.

We hebben nu formeel precies de uitgangssituatie, alleen met kleinere natuurlijke getallen d, e en f in plaats van a, b en c. We kunnen dit afleidingsproces herhalen met d, e en f en moeten dan op een nog kleiner drietal getallen uitkomen.[42]

6) Coördinatenmeetkunde

Fermat maakte zich de werken van Apollonius, Diophantus en Viète eigen.

Rond 1629 ‑ voordat Descartes' "La Géométrie" uitkwam ‑ schreef hij een verhandeling in het Latijn, getiteld "Inleiding tot de meetkundige plaatsen, bestaande uit rechte lijnen en krommen van de tweede graad". Daarin staat: "Telkens als in een eindvergelijking twee onbekende grootheden voorkomen, hebben we een meetkundige plaatsverzameling, waarbij een uiteinde (van de y-lijn) een rechte of kromme lijn beschrijft."

Hij identificeert elk punt in het platte vlak met een getallenpaar. Het coördinatenrooster is bij hem meestal rechthoekig.

Fermat onderkent, dat alle vergelijkingen van de tweede graad kegelsneden zijn. Bovendien weet hij ze alle door translatie en rotatie terug te brengen tot de standaardvorm voor ellips, parabool of hyperbool.

Bij Descartes is een meetkundige plaats de oplossing van een meetkundig probleem, bij Fermat is zij veeleer de vorm van een grafiek. De algemeenheid van zijn formuleringen blijkt uit de volgende stellingen:

"Als in een vlak een aantal vaste lijnen gegeven is, dan is de meetkundige plaatsverzameling van een punt waarvoor geldt, dat de som van zekere veelvouden van de lijnstukken die onder gegeven hoeken naar de gegeven lijnen worden getrokken, constant is, een rechte lijn."

"Als in een vlak een aantal vaste lijnen gegeven is, dan is de meetkundige plaats van een punt waarvoor geldt dat de som van de kwadraten van de lijnstukken, die onder gegeven hoeken naar de gegeven lijnen worden getrokken constant is, een rechte lijn."

Zijn "Inleiding" wordt pas na zijn dood, in 1679, gepubliceerd. Daarom wordt Descartes meestal als de uitvinder van de meetkunde gezien, maar Fermats behandeling is systematischer en helderder dan die van Descartes.

Coördinatenmeetkunde vond niet direct een warm onthaal onder mathematici. Sommigen, zoals de filosoof Thomas Hobbes, maakten bezwaar tegen het 'verwarren' van algebra en meetkunde.

Door de Latijnse vertaling van "La Géométrie" door de Nederlander Van Schooten, vergezeld van een commentaar, vonden Descartes ideeën meer ingang. Een grote rol in het populariseren van coördinatenmeetkunde speelde echter "De Sectionibus Conicis" van John Wallis. Hij benadrukte de geldigheid van algebraïsche redeneringen in gevallen waarbij Descartes zich nog gebaseerd zou hebben op de meetkundige logica. Wallis was waarschijnlijk de eerste die vergelijkingen gebruikte om eigenschappen van kegelsneden mee te bewijzen.

Zowel Descartes, Fermat als La Hire opperden de mogelijkheid van coördinatenmeetkunde in drie dimensies, maar deze kwam pas in de achttiende eeuw tot ontwikkeling.

7) 'Functieonderzoek'

De ontwikkelingen in de natuurwetenschappen gaven aanleiding tot wiskundige problemen, zoals "Vind de snelheid of versnelling van een projectiel", "Vind de raaklijn aan een kromme in een punt", "Vind maxima en minima" en "Vind de lengte van een kromme tussen twee gegeven punten".

Fermat behandelde problemen die wij nu in een mum van tijd oplossen met behulp van differentiaalrekening, in een geschrift: "Methodus ad disquirendam maximam et minimam" (1637).

Hij merkte op, dat een kleine verandering van de x-waarde in de buurt van het maximum of minimum van een functie f(x) een minimale verandering in de functiewaarde teweeg bracht. Door f(x) en f(x+e) met kleine e te berekenen en aan elkaar gelijk te stellen, kreeg hij een vergelijking in x en e. Deze deelde hij door e. Door vervolgens e gelijk aan 0 te stellen kon hij x oplossen.

Fermat maakte gebruik van de verschildriehoek met rechthoekszijden ∆x en ∆y om de subtangent (d.i. het lijnstuk, vanaf het snijpunt van de raaklijn met de x-as tot de projectie van het raakpunt op de x-as) en daarmee de helling van de raaklijn te bepalen (zie 6.A1).

René Descartes had scherpe kritiek op het vrije gebruik, dat Fermat maakte van infinitesimale elementen (delen door e en dan e gelijk aan 0 stellen !).

Hij vond een andere methode uit. Deze stelde hem in staat de raaklijn aan algebraïsche krommen in een punt P te bepalen. Hij nam een cirkel met de eigenschap, dat deze aan de kromme raakt in punt P. De straal en de coördinaten van het middelpunt van de cirkel voerde hij in als onbekende parameters. Omdat de cirkel door P moest gaan en twee gelijke wortels hebben, kon hij vergelijkingen opstellen, waaruit de parameters van de cirkel berekend kunnen worden. Dit gaf de vergelijking van de normaal door P. De raaklijn is dan de lijn loodrecht daarop. Deze methode werkt echter alleen in heel eenvoudige gevallen.

Geprikkeld door Descartes' kritiek, werkte Fermat zijn methode verder uit. Hij verklaarde in 1640 uitdrukkelijk, dat "het is toegestaan voor de y-coördinaten van de kromme die van de raaklijnen te substitueren".

Fermat beschouwde een kromme als voorstelling van een functie en schreef dus de verticale rechthoekszijde ∆y in de vorm f(x+e) — f(e).

In Engeland ontwikkelt Isaac Barrow, in reactie op de Franse vindingen, een zuiver geometrische methode om de raaklijn te bepalen, waarbij hij een kromme opvat als vergelijking tussen lijnstukken. Daarbij speelt weer de verschildriehoek, waarin PP' zowel als boogelement van de kromme als als raaklijnelement beschouwd wordt, een centrale rol. Deze driehoek heet ook differentiaal- of karakteristieke driehoek.

8) Oppervlakten onder een kromme

Stevin, Kepler en anderen maakten al berekeningen van meetkundige oppervlakken waarbij optellingen van 'oneindig veel' termen toegestaan waren, zonder de strenge bewijsvoering van Archimedes (zie 3.B3 en 4.A9). Fermat past oneindige reeksen toe voor de berekening van oppervlakten onder een algebraïsche kromme.

Men was met name geïnteresseerd in grafieken van machtfuncties ofwel 'gegeneraliseerde parabolen'. Fermat construeert bij de grafiek van y = xⁿ met n geheel en positief een bovensom van de oppervlakte onder de kromme van x = 0 tot x = a. Het interval [0,a] verdeelt hij van rechts naar links in stukken [ar,a], [ar²,ar], [ar³,ar²] enz. met r<1. De hierop staande rechthoeken worden naar links toe steeds smaller. Na berekening van de som van de oppervlakken van de rechthoeken ‑ het blijkt om een oneindige meetkundige reeks te gaan met somlimiet ‑ neemt hij de limiet voor r 1. Zo komt hij uit op .

Hij breidt dit resultaat uit tot rationale n = ^p/_q. De limiet voor r 1 berekent hij daarbij uit met als resultaat ^q/_p+q = ¹/_n+1.

Met een soortgelijke methode leidt hij af

voor m > 0, m ≠ 1.

Nu is de reden (verhouding van twee opeenvolgende termen: r) van de optredende meetkundige reeks groter dan 1 en worden de stukken van het interval [a,¥> naar rechts toe steeds groter. Fermat noteert: "Ik beweer, dat al deze oneindige hyperbolen, behalve die van Apollonius ofwel de eerste, gekwadrateerd (= in een algebraïsche uitdrukking voor de oppervlakte omgezet) kunnen worden met behulp van een meetkundige reeks volgens een eenvormige en algemeen geldige procedure."

Overigens is hij niet de enige die dergelijke resultaten boekt. Ook Cavalieri, Torricelli en de Roberval waren in staat sommige van deze oppervlakken te berekenen.

9) Licht volgt de kortste weg

Descartes verklaarde de gelijkheid van de hoeken van inval en terugkaatsing bij weerkaatsing van licht op een oppervlak uit de omkering van de verticale snelheidscomponent en het gelijk blijven van de horizontale snelheidscomponent. Insgelijks veronderstelde hij, dat bij lichtbreking van bijv. lucht naar glas alleen de verticale snelheidscomponent verandering ondergaat. Hier zou dan een momentane vergroting van de snelheid aan het scheidingsoppervlak moeten optreden met een factor gelijk aan 1,3 (van lucht naar glas is de brekingsindex 1,3).

Fermat bestrijdt Descartes' verklaring, omdat hij het aannemelijk vindt, dat licht in een dichter medium als water juist een lagere snelheid heeft dan in lucht. Heron en Olympiodorus [43] hadden al bewezen, dat de weerkaatsingswet afgeleid kon worden uit het principe, dat licht steeds de kortste weg volgt. Datzelfde principe, toegepast door Fermat op de lichtbreking van lucht naar water, leidt bij aanname van een lichtsnelheid in lucht, die 1,3 maal groter is dan die in water, tot Snels wet !

Figuur 18: Licht volgt de kortste weg
(principe van Fermat, Olympiodorus en Heron)

Om van A naar B te komen via P heeft het licht tijd nodig. Verschuiven we het passeerpunt van P naar Q, dan scheelt dat

In de buurt van het tijdminimum is dan .

B Blaise Pascal

vermelde personen in 5.B:		Fermat, Pierre de	1601-1665
Apollonius van Perga	262-190 v. Chr.	Schooten, Frans van	1615-1660
Pappos van Alexandrië	290-350	Wallis, John	1616-1703
Bhâskara II	1114-1185	Pascal, Blaise	1623-1662
Stifel, Michael	1487-1567	Huygens, Christiaan	1629-1695
Tartaglia, Niccolò	1500-1557	Wren, Christopher	1632-1723
Stevin, Simon	1548-1620	La Hire, Philippe de	1640-1718
Mersenne, Marin	1588-1648	Bernoulli, Jakob	1654-1705
Desargues, Girard	1591-1661	Bernoulli, Johann	1667-1748
Descartes, René	1596-1650	Poncelet, Jean Victor	1788-1867